Circuito RC com entrada senoidal

Problema

Suponha o mesmo circuito analisando antes:

Mas agora vamor injetar uma onda senoidal na entrada deste circuito, o que acontece?

Resolvendo usando Laplace

Resolvemos o mesmo problema, mas utilizando Laplace.

Antes em Resolvendo usando Laplace deduzimos que:

$H(s)={\displaystyle \frac{1}{RCs+1}}$$H(s)=\dfrac{1}{RCs+1}$

e agora:

$V_{in}(t)=V_m\sin \left(\omega t\right)$$V_{in}(t)=V_m\sin(\omega t)$

A transformada de uma senóide é:

$\mathcal{L}\{\sin \left(\omega t\right)\}={\displaystyle \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}}$$\mathcal L \left\{ \sin(\omega t) \right\}= \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$

assim:

$V_{in}(s)={\displaystyle \frac{V_m\omega }{s^2+{\omega }^2}}$$V_{in}(s) = \dfrac{V_m\omega}{s^2+\omega^2}$

e então, podemos deduzir $V_{out}(s)$$V_{out}(s)$, fazendo:

$V_{out}(s)=H(s)\cdot V_{in}(s)$$V_{out}(s) = H(s) \cdot V_{in}(s)$

$V_{out}(s)=\left({\displaystyle \frac{1}{RCs+1}}\right)\left({\displaystyle \frac{V_m\omega }{s^2+{\omega }^2}}\right)$$V_{out}(s) = \left( \dfrac{1}{RCs+1} \right) \left( \dfrac{V_m\omega}{s^2+\omega^2} \right)$

Logo:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(s)={\displaystyle \frac{V_m\omega }{(RCs+1)(s^2+{\omega }^2)}}}}$$\boxed{V_{out}(s)=\dfrac{V_m\omega}{(RCs+1)(s^2+\omega^2)}}$

Expansão em Frações Parciais

Expandindo a equação anterior em frações parciais:

${\displaystyle \frac{V_m\omega }{(RCs+1)(s^2+{\omega }^2)}}={\displaystyle \frac{A}{RCs+1}}+{\displaystyle \frac{Bs+C}{s^2+{\omega }^2}}$$\dfrac{V_m\omega} {(RCs+1)(s^2+\omega^2)} = \dfrac{A}{RCs+1} + \dfrac{Bs+C}{s^2+\omega^2} \qquad$ (1)

Temos que agora determinar $A$$A$ ,$B$$B$ e $C$$C$:

Multiplicamos (1) por:

$(RCs+1)(s^2+{\omega }^2)$$(RCs+1)(s^2+\omega^2)$

Resultando:

$V_m\omega =A(s^2+{\omega }^2)+(Bs+C)(RCs+1)$$V_m\omega = A(s^2+\omega^2) + (Bs+C)(RCs+1)$

Agora expandimos:

• Primeira parte da expressão: $A(s^2+{\omega }^2)=A{s}^2+A{\omega }^2$$A(s^2+\omega^2) = As^2+A\omega^2$
• Segunda parte da expressão: $(Bs+C)(RCs+1)$$(Bs+C)(RCs+1)$ Distribuindo: $=Bs(RCs)+Bs+CRCs+C$$= Bs(RCs)+Bs + CRC\,s+C$ ou: $=BRC{s}^2+(B+CRC)s+C$$= BRC\,s^2 + (B+CRC)s +C$

Agrupando tudo temos:

$V_m\omega =A{s}^2+A{\omega }^2+BRC{s}^2+(B+CRC)s+C$$V_m\omega = As^2+A\omega^2 + BRC\,s^2 + (B+CRC)s + C$

Agrupando potências:

$V_m\omega =(A+BRC)s^2+(B+CRC)s+(A{\omega }^2+C)$$V_m\omega= (A+BRC)s^2 + (B+CRC)s + (A\omega^2+C)$

Comparando coeficientes com (1):

No lado esquerdo: $V_m\omega$$V_m\omega$.

Não existem termos em: $s^2$$s^2$, e nem em $s$$s$, portanto:

• Coeficientes em $s^2$$s^2$: $A+BRC=0$$A+BRC=0$
• Coeficientes em $s^1$$s^1$: $B+CRC=0$$B+CRC=0$
• Coeficientes em $s^0$$s^0$ ($cte$$cte$): $A{\omega }^2+C=V_m\omega$$A\omega^2+C=V_m\omega$

Temos então o sistema de equações:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rcl}A+BRC& =& 0\\ B+CRC& =& 0\\ A{\omega }^2+C& =& V_m\omega \end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{rcl} A+BRC &=& 0\\ B+CRC &=& 0\\ A\omega^2+C &=& V_m\omega \end{array} \right.$

Agora resolvemos o sistema.

• Determinando $B$$B$: Da primeira equação: $B=-{\displaystyle \frac{A}{RC}}$$B=-\dfrac{A}{RC}$
• Determinando $C$$C$: Da segunda equação: $-{\displaystyle \frac{A}{RC}}+CRC=0$$-\dfrac{A}{RC}+CRC=0$ Multiplicando por RC: $-A+C(RC{)}^2=0$$-A+C(RC)^2=0$ Logo: $\boxed{{\displaystyle C={\displaystyle \frac{A}{(RC{)}^2}}}}$$\boxed{ C= \dfrac{A}{(RC)^2} }$
• Determinando $A$$A$: Substituindo na terceira expressão: $A{\omega }^2+{\displaystyle \frac{A}{(RC{)}^2}}=V_m\omega$$A\omega^2+ \dfrac{A}{(RC)^2} = V_m\omega$ Colocando $A$$A$ em evidência: $A({\omega }^2+{\displaystyle \frac{1}{(RC{)}^2}})=V_m\omega$$A \left( \omega^2+ \dfrac{1}{(RC)^2} \right) = V_m\omega$ Então: $A={\displaystyle \frac{V_m\omega }{{\omega }^2+{\displaystyle \frac{1}{(RC{)}^2}}}}$$A= \dfrac{V_m\omega} {\omega^2+\dfrac{1}{(RC)^2}}$ Multiplicando numerador e denominador por $(RC{)}^2$$(RC)^2$: $\boxed{{\displaystyle A={\displaystyle \frac{V_m\omega (RC{)}^2}{1+(\omega RC{)}^2}}}}$$\boxed{ A= \dfrac{V_m\omega(RC)^2} {1+(\omega RC)^2} }$
• Determinando $B$$B$ e $C$$C$: Como: $B=-{\displaystyle \frac{A}{RC}}$$B=-\dfrac{A}{RC}$ então temos: $\boxed{{\displaystyle B=-{\displaystyle \frac{V_m\omega RC}{1+(\omega RC{)}^2}}}}$$\boxed{ B= -\dfrac{V_m\omega RC} {1+(\omega RC)^2} }$ E: $C={\displaystyle \frac{A}{(RC{)}^2}}$$C= \dfrac{A}{(RC)^2}$ então: $\boxed{{\displaystyle C={\displaystyle \frac{V_m\omega }{1+(\omega RC{)}^2}}}}$$\boxed{ C= \dfrac{V_m\omega} {1+(\omega RC)^2} }$

Resultado final:

Expressão antes da expansão:

${\displaystyle \frac{V_m\omega }{(RCs+1)(s^2+{\omega }^2)}}={\displaystyle \frac{A}{RCs+1}}+{\displaystyle \frac{Bs+C}{s^2+{\omega }^2}}$$\dfrac{V_m\omega} {(RCs+1)(s^2+\omega^2)} = \dfrac{A}{RCs+1} + \dfrac{Bs+C}{s^2+\omega^2} \qquad$ (1)

A decomposição resultou na expressão analítica de $V_{out}(s)$$V_{out}(s)$:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(s)=\left({\displaystyle \frac{V_m\omega (RC{)}^2}{1+(\omega RC{)}^2}}\right)\left({\displaystyle \frac{1}{RCs+1}}\right)-\left({\displaystyle \frac{V_m\omega RC}{1+(\omega RC{)}^2}}\right)\left({\displaystyle \frac{s}{s^2+{\omega }^2}}\right)+\left({\displaystyle \frac{V_m\omega }{1+(\omega RC{)}^2}}\right)\left(\frac{1}{s^2+{\omega }^2}\right)}}$$\boxed{ V_{out}(s)= \left( \dfrac{ V_m\omega(RC)^2}{1+(\omega RC)^2} \right) \left( \dfrac{1}{RCs+1} \right) - \left( \dfrac{ V_m\omega RC }{ 1+(\omega RC)^2} \right) \left( \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \right) + \left( \dfrac{ V_m\omega }{1+(\omega RC)^2} \right) \left( \frac{1}{s^2+\omega^2} \right) }$

Transformada Inversa de Laplace

De uma Tabela de Transformadas de Laplace, sabemos que:

• ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{1}{RCs+1}}\right\}={\displaystyle \frac{1}{RC}}{e}^{-t/RC}$$\mathcal L^{-1} \left\{ \dfrac{1}{RCs+1} \right\} = \dfrac{1}{RC}e^{-t/RC}$
• ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{s}{s^2+{\omega }^2}}\right\}=\cos \left(\omega t\right)$$\mathcal L^{-1} \left\{ \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \right\} = \cos(\omega t)$
• ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{1}{s^2+{\omega }^2}}\right\}={\displaystyle \frac{1}{\omega }}\sin \left(\omega t\right)$$\mathcal L^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s^2+\omega^2} \right\} = \dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t)$

Substituindo:

O resultado da transformada inversa será:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=\left({\displaystyle \frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}}\right)e^{-t/RC}+\left({\displaystyle \frac{V_m}{1+(RC\omega {)}^2}}\right)[\sin \left(\omega t\right)-RC\omega \cos \left(\omega t\right)]}}$$\boxed{V_{out}(t)= \left( \dfrac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2} \right) \, e^{-t/RC} + \left( \dfrac{V_m}{1+(RC\omega)^2} \right) \left[ \sin(\omega t)-RC\omega\cos(\omega t) \right] }$

Podemos converter a segunda parte para o formato amplitude/fase e obter:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=\left({\displaystyle \frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}}\right)e^{-t/RC}+\left({\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}}\right)\sin [\omega t-{\tan }^{-1}(RC\omega )]}}$$\boxed{V_{out}(t)= \left( \dfrac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2} \right) \, e^{-t/RC} + \left( \dfrac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}} \right) \sin \left[ \omega t-\tan^{-1}(RC\omega) \right]}$

Note, exatamente a mesma solução encontrada resolvendo usando equação diferencial, conferir [aqui] se desejado.

Calculando Resíduos Usando Octave

A função residue() realiza o cálculo associado com a expansão em frações parciais.

Por exemplo:

xxxxxxxxxx
clear;
clc;

R = 1e3;
C = 1e-6;

Vm = 5;
f = 100;

w = 2*pi*f;

num = Vm*w;

den = conv([R*C 1], [1 0 w^2]);

[r,p,k] = residue(num, den)

disp("Residuos:");
disp(r);

disp("Polos:");
disp(p);

O Octave devolveria algo parecido com:

xxxxxxxxxx
r =
   0.3814
  -0.1907 - 2.9510i
  -0.1907 + 2.9510i

p =
  -1000
     0 + 628.3i
     0 - 628.3i

Os polos (raízes do denominador) serão:

$s=-1000$$s=-1000$ e $s=\pm j\omega$$s=\pm j\omega$

O Octave está fazendo exatamente a decomposição:

${\displaystyle \frac{A}{s+1000}}+{\displaystyle \frac{B}{s-j\omega }}+{\displaystyle \frac{C}{s+j\omega }}$$\dfrac{A}{s+1000} + \dfrac{B}{s-j\omega} + \dfrac{C}{s+j\omega}$

usando polos complexos.

Usando pacote symbolic + ilaplace()

Para isso é necessário:

xxxxxxxxxx
pkg load symbolic

Internamente ele usa o SymPy (biblioteca do Python).

Por exemplo:

xxxxxxxxxx
pkg load symbolic

syms s t

R = 1000;
C = 1e-6;

Vm = 5;
w = 2*pi*100;

Vout_s = (Vm*w)/((R*C*s+1)*(s^2+w^2));

pretty(Vout_s)

vout_t = ilaplace(Vout_s)

pretty(simplify(vout_t))

O resultado será algo próximo de:

xxxxxxxxxx
5*sin(628*t)/(1+0.3948)
-
1.97*cos(628*t)
+
1.97*exp(-1000*t)

ou alguma forma algébrica equivalente.

Outra forma elegante usando symbolic

Também é possível pedir explicitamente as frações parciais:

xxxxxxxxxx
pkg load symbolic

syms s

F = (Vm*w)/((R*C*s+1)*(s^2+w^2));

partfrac(F)

ou:

xxxxxxxxxx
apart(F)

O resultado será algo como:

${\displaystyle \frac{A}{s+1000}}+{\displaystyle \frac{Bs+C}{s^2+{\omega }^2}}$$\dfrac{A}{s+1000} + \dfrac{Bs+C}{s^2+\omega^2}$

Resumo dos Cálculos

• Manualmente: $V_{out}(s)\to \text{frações parciais}\to V_{out}(t)$$V_{out}(s) \rightarrow \text{frações parciais} \rightarrow V_{out}(t)$

• Octave numérico: residue(): obtém os resíduos.

• Octave simbólico:

  xxxxxxxxxx
  apart()
  ilaplace()
  

  faz praticamente toda a álgebra automaticamente.

Ou seja, estamos usando o Octave (ou computador) para reproduzir a seguinte sequência de passos:

Alguns usuários consideram que o ilaplace() é uma “caixa preta”. Na verdade, ele está executando internamente exatamente as manipulações algébricas que acabamos de fazer à mão.

Simulando uma senoide

Agora podemos executar [circuito_RC_Laplace_seno1.m]:

xxxxxxxxxx
clear;
close all;

R = 1e3;
C = 1e-6;

Vm = 5;
f = 100;
w = 2*pi*f;
T = 1/f;
t_fim = 2.5*T;
t = 0:1e-5:t_fim;

Vin = Vm*sin(w*t);

% Solucao completa, considerando Vout(0) = 0
A = Vm*R*C*w/(1+(R*C*w)^2);

V_trans = A*exp(-t/(R*C));

Vout = V_trans ...
     + Vm/sqrt(1+(R*C*w)^2) ...
     .* sin(w*t - atan(R*C*w));

plot(t, Vin, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(t, Vout, 'LineWidth', 1.5);
plot(t, V_trans, 'r:', 'LineWidth', 1,2);

grid on;
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Tensão (V)');
legend('V_{in}', 'V_{out}', 'location', 'southeast');
title('Circuito RC - Senoidal, f = 100 Hz');

Aqui aparece algo didaticamente muito importante:

No início existe um transitório (destacado na cor magenta pontilhado, $V_{trans}$$V_{trans}$).

Depois de aproximadamente ($5\tau =5\cdot 1$$5\,\tau = 5 \cdot 1$ms), desaparece este termo:

$A{e}^{-t/\tau }\to 0$$Ae^{-t/\tau}\rightarrow0$

e sobra somente a expressão:

$V_{out}(t)={\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}}\sin (\omega t-\arctan \left(\omega RC\right))$$V_{out}(t) = \dfrac{V_m}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \sin(\omega t-\arctan(\omega RC))$

Você pode ainda:

• Verificar atenuação e defasagem em outras frequências, e;

• Ver uma animação mostrando como o sinal de saída $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$ é atenuado e defasado conforme a frequência aumenta dos 10 Hz até 10 KHz:

  

Análise frequêncial

Podemos observar o que ocorre se a frequência de senoide de entrada variar.

Arquivo [resposta_mag_freq.m]:

xxxxxxxxxx
% resposta_mag_freq.m
% Traça gráfico da resposta de magnitude (ganho) vs frequencia
% Fernando Passold, em 16/08/2026

clear;
close all;

R = 1e3;
C = 1e-6;

fc = 1/(2*pi*R*C);

Vm = 5;

f = logspace(0, 5, 500);

w = 2*pi*f;
wc = 2*pi*fc;

H = 1 ./ (1 + 1i*w*R*C);
Hc = 1 ./ (1 + 1i*wc*R*C);  % H(f) na freq de corte

magnitude = abs(H);
mag_c = abs(Hc);
fase = angle(H)*180/pi;

figure;
semilogx(f, 20*log10(magnitude), 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(fc, 20*log10(mag_c), "om", 'LineWidth', 1.5); % exibe um marcador em fc
str = num2str(fc);
str = ['f_c = ' str ' (Hz)'];
text(fc*1.2, 20*log10(mag_c)*0.8, str);
grid on;

xlabel('Frequência (Hz)');
ylabel('|H(f)| (dB)');
title('Magnitude da resposta em frequência do circuito RC');

O código anterior gera o gráfico:

Onde aparece destacada a frequência de corte:

$f_c={\displaystyle \frac{1}{2\pi RC}}$$f_c=\dfrac{1}{2\pi RC} \qquad$ (Hz)

Neste caso:

$\boxed{{\displaystyle f_c=159,15Hz}}$$\boxed{f_c=159,15Hz}$

O gráfico anterior é quase um Diagrama de Bode. Este ultimo tipo de diagrama mostra 2 gráficos separados: um mostrando como varia a magnitude (ganho) de saída do sistema e o outro mostra a defasagem introduzida no sinal de entrada. O Octave facilita a plotagem deste gráfico através do comando bode(H), mas neste caso o argumento de entrada H deve ser uma variável do tipo transfer function, que neste caso é igual à:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}={\displaystyle \frac{1}{RCs+1}}=\frac{1}{0,001s+1}=\frac{1000}{s+1000}}}$$\boxed{ H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \dfrac{1}{RCs+1} =\frac{1}{0,001s+1} =\frac{1000}{s+1000} }$

Esta expressão já foi deduzida em [Resolvendo usando Laplace] (busca da função transferência).

Podemos explorar esta gráfico de análise frequencial executando [mostra_bode.m]:

xxxxxxxxxx
% mostra_bode.m
% Fernando Passold, em 16/08/2026

clear;
close all;

R = 1e3;
C = 1e-6;

disp("Constante de tempo do circuito:")
tau = R*C
disp("Frequência de corte do circuito:")
fc = 1/(2*pi*tau)

disp("Função transferência do circuito:")
% H(s) = 1/(R*C*s + 1);
num = 1;           % numerador de H(s)
den = [R*C 1];     % denominador de H(s)
H = tf(num, den)   % cria a função transferência no plano-s
disp('ou:')
zpk(H)

disp("Segue gráfico do Diagrama de Bode")
figure;
bode(H)

%%%% Octave não permite especifica frequência em Hz na função bode()

% Obtém a resposta em frequência em rad/s
[mag, phase, w] = bode(H);
% O comando [mag, phase, w] = bode(sys) retorna as variáveis
% mag (magnitude) e phase (fase) como arrays de 3 dimensões (3D).
% - Dimensão 1: Número de saídas (1)
% - Dimensão 2: Número de entradas (1)
% - Dimensão 3: Quantidade de pontos de frequência gerados (ex: 500)

% Converte rad/s para Hz e a magnitude para dB
f = w / (2 * pi);
mag_db = 20 * log10(squeeze(mag));
phase_deg = squeeze(phase);
% A função `squeeze` reduz a dimensão de matrizes.
% Se você tentar plotar o vetor diretamente usando
% semilogx(f, mag), o Octave gerará um erro.
% Ele não aceita uma matriz de tamanho [1, 1, 500]
% para gerar um gráfico 2D comum.

figure; % Nova janela gráfica
% Plota o diagrama de Magnitude em Hz
subplot(2, 1, 1);
semilogx(f, mag_db, 'LineWidth', 1.5);
grid on;
title('Diagrama de Bode em Hz');
ylabel('Magnitude (dB)');

% Plota o diagrama de Fase em Hz
subplot(2, 1, 2);
semilogx(f, phase_deg, 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('Frequência (Hz)');
ylabel('Fase (graus)');

% Destacando nos gráficos os pontos na freq de corte
% Note: s --> j*w,  w = 2*pi*f
wc = 2*pi*fc;               % Freq de corte em rad/s
s = 1i*wc;                  % define s como número completo jw
% H(s) = 1/(R*C*s + 1);
disp("Ganho absoluto na freq. de corte:");
H_fc = 1/(tau*s + 1);       % resulta um número complexo
G = abs( H_fc )
disp("Ganho em dB na freq. de corte:")
G_dB = 20*log10(G)
disp("Defasagem na freq. de corte:")
ph = angle( H_fc )*180/pi   % retorna valor em graus
subplot(2, 1, 1);
hold on                     % sobrepor no gráfico anterior
plot(fc, G_dB, 'om');
subplot(2, 1, 2);
hold on
plot(fc, ph, 'om')

Este script gera as seguntes informações na janela de comandos:

xxxxxxxxxx
octave:37> mostra_bode

Constante de tempo do circuito:
tau = 1.0000e-03
Frequência de corte do circuito:
fc = 159.15
Função transferência do circuito:

Transfer function 'H' from input 'u1' to output ...

           1
 y1:  -----------
      0.001 s + 1

Continuous-time model.
ou:

Transfer function 'ans' from input 'u1' to output ...

           1
 y1:  -----------
      0.001 s + 1

Continuous-time model.
Segue gráfico do Diagrama de Bode
Ganho absoluto na freq. de corte:
G = 0.7071
Ganho em dB na freq. de corte:
G_dB = -3.0103
Defasagem na freq. de corte:
ph = -45.000
octave:38>

e gera os seguintes gráficos:

e:

• Mais informações sobre cálculos associados com diagrama de Bode ver [Variando Frequência].
• Mais simulações envolvendo este circuito RC, no tópico: [Simulações num Circuito RC].

Fernando Passold, em 16/08/2026