Simulações num Circuito RC

Efeito do R e do C

Seja o seguinte circuito RC:

xxxxxxxxxx
                 R
Vin ──────────/\/\/───●──── Vout
                      │
                     === C
                      │
                     GND

Primeiramente vamos separar o efeito de R e C.

Nossa função de transferência é:

$H(s)={\displaystyle \frac{1}{RCs+1}}$$H(s)=\dfrac{1}{RCs+1}$

onde:

$\tau =RC$$\tau=RC$, corresponde à constante de tempo do circuito.

Para uma resposta ao degrau, $R$$R$ e $C$$C$ individualmente não importam tanto quanto o produto $RC$$RC$.

Por exemplo:

$R=1k\mathrm{\Omega },C=1\mu F$$R=1k\Omega,\quad C=1\mu F$

gera:

$\tau =1ms$$\tau=1ms$

mas:

$R=10k\mathrm{\Omega },C=100nF$$R=10k\Omega,\quad C=100nF$

também produz:

$\tau =1ms$$\tau=1ms$

As duas respostas ao degrau serão exatamente iguais.

Simulando Degrau no Ocatve

Usando a função step() para simular o degrau na entrada de um sistema.

Podemos executar o código abaixo para verificar a resposta ao degrau unitário:

Código Octave [degrau_RC_1.m]:

xxxxxxxxxx
pkg load control

R = 1e3;
C = 1e-6;

s = tf('s');

H = 1/(R*C*s + 1);

step(H);    % aplicação de defrau unitário
grid on;

Deve ter sido gerado um resultado gráfico como:

Isso mostra a resposta ao degrau unitário.

Se quisermos simular um degrau de 5 V:

xxxxxxxxxx
step(5*H);
grid on;

Agora o gráfico ficou como:

e a resposta será:

$V_{out}(t)=5(1-e^{-t/RC})$$V_{out}(t)=5 \left( 1-e^{-t\Big/RC} \right)$

Variando valores de $R$$R$

Considere por exemplo:

$C=1\mu F$$C=1\mu F$

e:

$R=1k\mathrm{\Omega },10k\mathrm{\Omega },100k\mathrm{\Omega }$$R=1k\Omega,\;10k\Omega,\;100k\Omega$

No Octave, [degrau_RC_varia_R.m]:

xxxxxxxxxx
% degrau_RC_varia_R.m
% Simples simulação degrau circuito RC
% variando valores de R

pkg load control

s = tf('s');

C = 1e-6;

R1 = 1e3;
R2 = 10e3;
R3 = 100e3;

H1 = 1/(R1*C*s + 1);
H2 = 1/(R2*C*s + 1);
H3 = 1/(R3*C*s + 1);

figure; % abre nova janela gráfica
step(5*H1, 5*H2, 5*H3, 0.5);
grid on;
legend('1 kOhm','10 kOhm','100 kOhm', "location", "southeast");
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Vout (V)');

Deve ter sido obtido um gráfico como:

Aqui notamos claramente o papel da constante de tempo:

$\tau =RC$$\tau=RC$

Note: Aumentar $R$$R$ torna o capacitor mais lento para carregar.

Fazendo a mesma coisa variando $C$$C$...

Variando valores de $C$$C$

Agora fixamos:

$R=1k\mathrm{\Omega }$$R=1k\Omega$

e fazemos:

$C=100nF,1\mu F,10\mu F$$C=100nF,\quad1\mu F,\quad10\mu F$

Problema Proposto: Simular este caso, mostrando o resultado gráfico obtido.

O resultado deve ficar semelhante com:

Isso nos permite chegar experimentalmente à conclusão de que: — o que importa é:

$\boxed{{\displaystyle \tau =RC}}$$\boxed{\tau=RC}$

Simulando Circuito RC com Senóide

Como simular uma senoide na entrada deste circuito?

Usamos a função lsim().

Temos:

$H(s)={\displaystyle \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}$$H(s)=\dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}$

e podemos fornecer à função lsim():

• o sistema $H(s)$$H(s)$;
• o vetor de tempo $t$$t$;
• o sinal de entrada $V_{in}(t)$$V_{in}(t)$.

O Octave calcula numericamente $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$.

Senoide de 100 Hz

Vamos usar:

$R=1k\mathrm{\Omega }$$R=1k\Omega$, $C=1\mu F$$C=1\mu F$

portanto:

$\tau =1ms$$\tau=1ms$

e uma entrada:

$V_{in}(t)=5\sin \left(2\pi 100t\right)$$V_{in}(t)=5\sin(2\pi100t)$

ou seja, uma senóide oscilando em 100 Hz.

Código Octave para simular o seno: [circuito_RC_seno_1.m]:

xxxxxxxxxx
% degrau_RC_varia_R.m
% Simples simulação degrau circuito RC
% variando valores de R

pkg load control

s = tf('s');

C = 1e-6;

R1 = 1e3;
R2 = 10e3;
R3 = 100e3;

H1 = 1/(R1*C*s + 1);
H2 = 1/(R2*C*s + 1);
H3 = 1/(R3*C*s + 1);

figure; % abre nova janela gráfica
step(5*H1, 5*H2, 5*H3, 0.5);
grid on;
legend('1 kOhm','10 kOhm','100 kOhm', "location", "southeast");
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Vout (V)');

Neste caso, estamos informando ao Octave:

$\boxed{{\displaystyle V_{in}(t)=5\sin \left(2\pi 100t\right)}}$$\boxed{ V_{in}(t)=5\sin(2\pi100t) }$

e:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{1}{RCs+1}}}$$\boxed{ H(s)=\frac{1}{RCs+1} }$

e pedindo que se calcule:

lsim(H,Vin,t)

para determinar a saída $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$.

Resultado esperado:

O que vemos no gráfico?

Para: $f=100Hz$$f=100Hz$,

temos:

$\omega =628,3rad/s$$\omega=628,3\,rad/s$,

e:

$\omega RC=0,6283$$\omega RC=0,6283$

A magnitude final é:

$|H(j\omega )|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+0,{6283}^2}}}$$|H(j\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+0,6283^2}}$

$|H|\approx 0,847$$|H|\approx0,847$

Portanto uma senoide de 5 V terá aproximadamente:

$V_{out,pico}=5(0,847)$$V_{out,pico}=5(0,847)$

$\boxed{{\displaystyle V_{out,pico}\approx 4,24V}}$$\boxed{V_{out,pico}\approx4,24V}$

Além disso, note a defasagem:

$\varphi =-\arctan (0,6283)$$\phi=-\arctan(0,6283)$

$\boxed{{\displaystyle \varphi \approx -32,1^{\circ }}}$$\boxed{\phi\approx-32,1^\circ}$

Note no gráfico:

• a redução da amplitude;
• o atraso da saída em relação à entrada.

Variando a frequência da senóide

Agora vamos variar a frequência.

Podemos programar no Octave: circuito_RC_seno_varia.m:

xxxxxxxxxx
% circuito_RC_seno_varia.m
% Simula senoides freq. variável na entrada de
% um circuito RC passa-baixas

pkg load control

R = 1e3;
C = 1e-6;
disp("Frequência de corte deste circuito:")
fc=1/(2*pi*R*C)

s = tf('s');

H = 1/(R*C*s + 1);

Vm = 5;

frequencias = [10 32 100 316 1000 3162 10000 fc/10 fc 10*fc];

for f = frequencias

    T = 1/f; % período da onda
    t_fim = 3.5*T;
    t_sampling = T/50; % 50 pontos por ciclo
    clear t Vin Vout;  % recomeça vetores
    t = 0:t_sampling:t_fim;

    Vin = Vm*sin(2*pi*f*t);

    [Vout, t] = lsim(H, Vin, t);

    figure;

    plot(t, Vin, 'LineWidth', 1.2);
    hold on;
    plot(t, Vout, 'LineWidth', 1.2);
    xlim([0 t_fim]);  % para não deixar eventual espaço em branco no final

    grid on;

    xlabel('Tempo (s)');
    ylabel('Tensão (V)');

    legend('V_{in}', 'V_{out}', "location", "southeast");

    title(['f = ', num2str(f), ' Hz']);

end

Esse código permite gerar gráficos como os motrados à seguir

Ou de forma animada, variando a frequência de entrada, podemos perceber:

Problema Proposto: simular os casos acima e apresentar os resultados obtidos.

E se o $R$$R$ variar?

Uma experiência diferente: o que ocorre se variar o $R$$R$?

Podemos manter:

$C=1\mu F$$C=1\mu F$

e:

$f=500Hz$$f=500Hz$

e variamos:

$R=100\mathrm{\Omega },1K\mathrm{\Omega },10K\mathrm{\Omega }$$R = 100\Omega, 1K\Omega , \; 10K\Omega$.

Como:

$f_c={\displaystyle \frac{1}{2\pi RC}}$$f_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$

teremos:

Portanto, para a mesma senoide de 500 Hz, deve ser percebido que:

• com $100\mathrm{\Omega }$$100\Omega$, boa parte do sinal de entra passa (pouca atenuação, pouca defasagem);
• com $1k\mathrm{\Omega }$$1k\Omega$, há uma atenuação e defasagem significativa;
• com $10k\mathrm{\Omega }$$10k\Omega$, passa muito pouco.

Problema Proposto: simular os casos acima e apresentar os resultados gráficos obtidos.

Deve ter sido obtido algo como:

$R=100\mathrm{\Omega }$$R=100\Omega$	$R=1K\mathrm{\Omega }$$R=1K\Omega$	$R=10K\mathrm{\Omega }$$R=10K\Omega$

Questão: “O que o resistor está fazendo com a senoide?”

A resposta matemática é:

$|H(j\omega )|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}}$$|H(j\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$

Mas a interpretação física poderia ser:

"Quanto maior o RC, mais difícil é para o capacitor acompanhar mudanças rápidas da tensão de entrada."

E se variar $C$$C$?

Vamos variar $C$$C$...

Fixamos:

$R=1k\mathrm{\Omega }$$R=1k\Omega$

Mantendo:

$f=500Hz$$f=500Hz$

e variamos:

$C=100nF,1\mu F,10\mu F$$C=100nF,\;1\mu F,\;10\mu F$

Temos agora:

Problema Proposto: simular os casos acima e apresentar os resultados obtidos.

Deve ser obtido algo como:

$C=100nF$$C=100nF$	$R=1\mu F$$R=1\mu F$	$R=10\mu F$$R=10\mu F$

Resumo

• lsim() $\ne$$\neq$ step():
• step(H) $\Rightarrow$$\quad \Rightarrow \quad$ “Aplica um degrau a um sistema.”
• lsim(H,Vin,t) $\Rightarrow$$\quad \Rightarrow \quad$ “Aplica uma forma de onda arbitrária a um sistema.”

Conclusões Finais

Note como podemos analisar circuitos (ou outros sistemas físicos):

Percebe-se por que a transformada de Laplace é tão poderosa para engenharia: em vez de resolver novamente uma EDO para cada nova entrada, você caracteriza o sistema uma vez por $H(s)$$H(s)$ e depois pode investigar diferentes entradas, tempos e frequências com ferramentas computacionais (step(), lsim() e bode() ).

Fernando Passold, em 12/08/2026