Circuito RC com entrada senoidal

Problema

Suponha o mesmo circuito analisando antes:

Mas agora vamor injetar uma onda senoidal na entrada deste circuito, o que acontece?

Neste caso:

$V_{in}(t)=V_m\sin \left(\omega t\right)$$V_{in}(t)=V_m\sin(\omega t)$

e que $V_m=5$$V_m=5$ V e inicialmente $f=100$$f=100$ Hz.

Como: $\omega =2\pi f$$\omega=2\pi f$, teremos

$\omega =628,32$$\omega=628,32$ (rad/s)

A equação diferencial do circuito RC continua sendo (ver Resolvendo usando equação diferencial do circuito):

$RC{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+V_{out}=V_{in}$$RC\dfrac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=V_{in}$

subtituindo $V_{in}$$V_{in}$ como sendo a onda senoidal, teremos agora:

$0,001{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+V_{out}=5\sin \left(\omega t\right)$$0,001\dfrac{dV_{out}}{dt}+V_{out} = 5\sin(\omega t)$

Resolvendo usando equação diferencial

Agora não podemos simplesmente procurar uma solução constante.

Procuramos uma solução particular da forma:

$V_{out,p}(t)=A\sin \left(\omega t\right)+B\cos \left(\omega t\right)$$V_{out,p}(t) = A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$

Derivando:

${\displaystyle \frac{d{V}_{out,p}}{dt}}=A\omega \cos \left(\omega t\right)-B\omega \sin \left(\omega t\right)$$\dfrac{dV_{out,p}}{dt} = A\omega\cos(\omega t) - B\omega\sin(\omega t)$

Substituímos na equação:

$RC[A\omega \cos \left(\omega t\right)-B\omega \sin \left(\omega t\right)]+A\sin \left(\omega t\right)+B\cos \left(\omega t\right)=V_m\sin \left(\omega t\right)$$RC [A\omega\cos(\omega t) -B\omega\sin(\omega t)] + A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) = V_m\sin(\omega t)$

Agrupando seno e cosseno:

$(A-BRC\omega )\sin \left(\omega t\right)+(B+ARC\omega )\cos \left(\omega t\right)=V_m\sin \left(\omega t\right)$$(A-BRC\omega)\sin(\omega t) + (B+ARC\omega)\cos(\omega t) = V_m\sin(\omega t)$

Para que isso seja verdadeiro para qualquer $t$$t$, os coeficientes precisam ser iguais:

Termo do seno:

$A-BRC\omega =V_m$$A-BRC\omega=V_m$ (1)

Termo do cosseno:

$B+ARC\omega =0$$B+ARC\omega=0$ (2)

Da segunda equação (2) temos que:

$B=-ARC\omega$$B=-ARC\omega$

Substituindo na primeira (1):

$A-(-ARC\omega )RC\omega =V_m$$A-(-ARC\omega)RC\omega=V_m$

$A+A(RC\omega {)}^2=V_m$$A+A(RC\omega)^2=V_m$

$A[1+(RC\omega {)}^2]=V_m$$A[1+(RC\omega)^2]=V_m$

Assim, descobrimos que:

$\boxed{{\displaystyle A={\displaystyle \frac{V_m}{1+(RC\omega {)}^2}}}}$$\boxed{A=\dfrac{V_m}{1+(RC\omega)^2}}$

e:

$\boxed{{\displaystyle B=-{\displaystyle \frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}}}}$$\boxed{B=-\dfrac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2}}$

Portanto:

$\boxed{{\displaystyle V_{out,p}(t)=\left(\frac{V_m}{1+(RC\omega {)}^2}\right)\sin \left(\omega t\right)+\left(\frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}\right)\cos \left(\omega t\right)}}$$\boxed{ V_{out,p}(t)= \left( \frac{V_m}{1+(RC\omega)^2} \right) \sin( \omega t) + \left( \frac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2} \right) \cos(\omega t)}$

Essa é uma resposta perfeitamente válida, mas existe uma forma mais elegante de "interpretá-la".

Convertendo para notação Amplitude e Fase

Podemos escrever:

$V_{out}(t)=M\sin (\omega t+\varphi )$$V_{out}(t) = M\sin(\omega t+\phi)$

Sabemos que, a equação acima representa uma onda senoidal defasada de $\varphi$$\phi$ graus, então, pela identidade trignométrica do seno de uma soma, podemos re-escrver a equaçao acima como:

$M\sin (\omega t+\varphi )=M\sin \left(\omega t\right)\cos \varphi +M\cos \left(\omega t\right)\sin \varphi$$M\sin(\omega t+\phi) = M\sin(\omega t)\cos\phi + M\cos(\omega t)\sin\phi$

Comparando com nossa expressão, temos:

$M\cos \varphi ={\displaystyle \frac{V_m}{1+(RC\omega {)}^2}}$$M\cos\phi=\dfrac{V_m}{1+(RC\omega)^2}$

e:

$M\sin \varphi =-{\displaystyle \frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}}$$M\sin\phi=-\dfrac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2}$

Dividindo uma equação pela outra:

$\tan \varphi =-RC\omega$$\tan\phi=-RC\omega$

Portanto:

$\boxed{{\displaystyle \varphi =-\arctan \left(RC\omega \right)}}$$\boxed{\phi=-\arctan(RC\omega)}$

e para amplitude teremos:

$M=\sqrt{A^2+B^2}$$M=\sqrt{A^2+B^2}$

Depois de uma simplificação, obtemos:

$\boxed{{\displaystyle M={\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}}}}$$\boxed{M=\dfrac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}}$

Assim, depois que desaparece o transitório, temos:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)={\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}}\sin [\omega t-\arctan \left(RC\omega \right)]}}$$\boxed{V_{out}(t)=\dfrac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}} \, \sin \left[ \omega t-\arctan(RC\omega) \right]}$

Essa equação é importante porque ela permite deduzir que este circuito:

• atenua a amplitude;
• introduz atraso de fase;
• e a atenuação e defasagem depende da frequência.

Mas ainda temos o transitório!

A solução geral não é apenas a solução senoidal particular.

Temos também a solução homogênea:

$V_{out,h}=K{e}^{-t/RC}$$V_{out,h}=Ke^{-t/RC}$

Logo:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=K{e}^{-t/RC}+\left({\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}}\right)\sin [\omega t-\arctan \left(RC\omega \right)]}}$$\boxed{V_{out}(t)=Ke^{-t/RC}+ \left( \dfrac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}} \right) \sin \left[ \omega t-\arctan(RC\omega) \right]}$

Se o capacitor inicialmente estiver descarregado:

$V_{out}(0)=0$$V_{out}(0)=0$

então podemos determinar $K$$K$.

No instante zero:

$0=K+{\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}}\sin [-\arctan \left(RC\omega \right)]$$0=K+\dfrac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}} \sin \left[ -\arctan(RC\omega) \right]$

mas como:

$\sin (-\arctan x)=-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$$\sin \left( -\arctan x \right) = -\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

e como neste caso:

$x=RC\omega$$x=RC\omega$

obtemos:

$K={\displaystyle \frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}}$$K=\dfrac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2}$

Solução completa

Sendo assim, a solução completa é:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=\underset{(a)}{\underbrace{\left({\displaystyle \frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}}\right)e^{-t/RC}}}+\underset{(b)}{\underbrace{\left({\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}}\right)\sin [\omega t-\arctan \left(RC\omega \right)]}}}}$$\boxed{V_{out}(t)=\underbrace{ \left( \dfrac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2} \right) e^{-t/RC}}_{(a)}+\underbrace{ \left( \dfrac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}} \right) \sin \Big[ \omega t-\arctan(RC\omega) \Big]}_{(b)}}$ (1)

Concluímos que uma resposta de um circuito de primeira ordem possui uma parcela transitória (a) e uma parcela de regime permanente (b).

Simulação

Podemos simular uma senóide na entrada deste circuito, oscilando na frequência de 100 Hz

Mas com o objetivo de entender melhor as coisas, vamos adaptar um pouco a eq. (1):

$V_{out}(t)=\underset{y_1(t)}{\underbrace{\left({\displaystyle \frac{V_{m}RC\omega }{1+(RC\omega {)}^2}}\right)e^{-t/RC}}}+\underset{y_2(t)}{\underbrace{\left({\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega {)}^2}}}\right)\sin [\omega t-\arctan \left(RC\omega \right)]}}$$V_{out}(t)=\underbrace{ \left( \dfrac{V_mRC\omega}{1+(RC\omega)^2} \right) e^{-t/RC}}_{y_1(t)}+\underbrace{ \left( \dfrac{V_m}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}} \right) \sin \Big[ \omega t-\arctan(RC\omega) \Big]}_{y_2(t)}$

e plotar sobreposto à curva de $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$, as curvas para $y_1(t)$$y_1(t)$ (envoltória do período transitório) e $y_2(t)$$y_2(t)$ (resposta em regime permanente).

Código: simula_sin_edo.m.

# Simula saída de uma senoide na entrada de um circuito RC (filtro passa-baixas)
# Fernando Passold, em 12/08/2026

clear;          % limpa dados anteriores
close all;      % fecha janelas gráficas (se houver)
clc;            % limpa tela de comandos

R = 1e3;
C = 1e-6;
disp('Constante de tempo do sistema:')
tau = R*C       % contante de tempo do sistema

Vm = 5;
f = 100;
disp('Frequência angular da senóide:')
w = 2*pi*f

# Levantando alguns dados da onda para facilitar análise
disp('Periodo da onda senoidal:')
T = 1/f # período da onda senoidal
disp('Duração da simulação:')
t_fim = 2*T         # vamos simular 2 ciclos da onda

t = 0:1e-5:t_fim;   # cria vetor tempo t com incremento de 1x10^{-5} = 10 ns

Vin = Vm*sin(w*t);  # cria vetor de entrada (simula a senóide)

% Solucao completa, considerando Vout(0) = 0
K  = Vm*R*C*w/(1+(R*C*w)^2);
y1 = K*exp(-t/tau);                                 % vetor apenas do período transitório
y2 = Vm/sqrt(1+(R*C*w)^2).* sin(w*t - atan(R*C*w)); % vetor/saida regime permanente

Vout = y1 + y2;     % compondo regime transitório, y1 + regime permanente, y2.

plot(t, Vin, 'b',  'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(t, Vout, 'r',  'LineWidth', 1.5);

% Plotando as curvas auxiliares
plot(t, y1,   'b--', 'LineWidth', 1.5);
plot(t, y2,   'm:',  'LineWidth', 1.5);
grid on;

xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Tensão (V)');
legend('V_{in}', 'V_{out}', 'y_1(t)', 'y_2(t)');
title('Circuito RC - entrada senoidal');

Na tela de comando deve aparecer:

Constante de tempo do sistema:
tau = 1.0000e-03
Frequência angular da senóide:
w = 628.32
Periodo da onda senoidal:
T = 0.010000
Duração da simulação:
t_fim = 0.020000
octave:15>

e deve sugir um gráfico algo como:

Note alguns detalhes no gráfico anterior:

• Nos primeiros 5 ms existe um transitório — a curva $y_1(t)$$y_1(t)$ é mais evidente. Note que depois de aproximadamente $t=5\tau$$t=5\tau$, $y_1(t)$$y_1(t)$ desaparece:

  $K{e}^{-t/\tau }\to 0$$Ke^{-t/\tau}\rightarrow0$

  e sobra somente a parcela do regime permanente, $y_2(t)$$y_2(t)$:

  $V_{out}(t)=\left({\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}}\right)\sin (\omega t-{\tan }^{-1}(\omega RC))$$V_{out}(t) = \left( \dfrac{V_m}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \right) \sin \left( \omega t - \tan^{-1}(\omega RC) \right)$

• Note também que $V_{out}$$V_{out}$ não possui apenas uma amplitude diferente (reduzida).

  Existe também uma diferença de fase, ou defasagem. Este circuito defasa o sinal de entrada de $\varphi$$\phi$ graus, que varia conforme a frequência de entrada $\omega$$\omega$ da senile:

  $\varphi ={\tan }^{-1}(\omega RC)$$\phi=\tan^{-1}(\omega \, R \, C)$,

  Neste caso, como a frequência de entrada é de 100 Hz, teremos:

  $\omega =2\pi f=2\pi 100=628,32$$\omega = 2\,\pi\,f=2 \,\pi \,100 = 628,32$ (rad/s), e:

  $\varphi ={\tan }^{-1}(628,32\cdot 1\times {10}^3)=0,6283$$\phi=\tan^{-1}(628,32 \cdot 1 \times 10^3)=0,6283$ (rad) ou ${36}^o$$36^o$.

• Esta redução de amplitude e defasagem são típicas consequências de um filtro passa-baixas (caso deste circuito RC).

• E o que acontece se o circuito receber uma onda senoidal com frequência variável, clique [aqui] para saber mais.

Fernando Passold, 13/08/2026.