Análise de Circuito RC

Problema

Seja o circuito abaixo:

Obs.: considere: R = 1 K$\mathrm{\Omega }$$\Omega$ e C = 1 $\mu$$\mu$F.

Resolva:

a) Descubra o que ocorre quando se aplica um degrau de amplitude de 5 Volts ao mesmo; mostre um gráfico de $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$.

b) Descubra o que ocorre quando se aplica uma senoide na entrade deste ciruito. Compare num diagrama no tempo, a forma de onda de entrada versus forma de onda na saída deste circuito.

Resolução:

• Podemos resolver usando equações diferencias, no domínio tempo, ou;
• Podemos usar transformada de Laplace para obter a função transferência, realizar os cálculos necessários e voltar ao domínio tempo para descobrir as respostas.

Equação Diferencial do circuito

Circuito:

xxxxxxxxxx
                 R
Vin(t) ───────/\/\/\/─────●──── Vout(t)
                          │
                         === C
                          │
                         GND

Analisando...

Como a corrente que passa pelo resistor é a mesma corrente que carrega o capacitor:

$i_R(t)=i_C(t)$$i_R(t)=i_C(t)$

Pela lei de Ohm:

$i_R(t)={\displaystyle \frac{V_{in}(t)-V_{out}(t)}{R}}$$i_R(t)=\dfrac{V_{in}(t)-V_{out}(t)}{R}$

Para o capacitor:

$i_C(t)=C{\displaystyle \frac{d{V}_{out}(t)}{dt}}$$i_C(t)=C\dfrac{dV_{out}(t)}{dt}$

Portanto:

${\displaystyle \frac{V_{in}(t)-V_{out}(t)}{R}}=C{\displaystyle \frac{d{V}_{out}(t)}{dt}}$$\dfrac{V_{in}(t)-V_{out}(t)}{R} = C\dfrac{dV_{out}(t)}{dt}$

Multiplicando por $R$$R$:

$V_{in}(t)-V_{out}(t)=RC{\displaystyle \frac{d{V}_{out}(t)}{dt}}$$V_{in}(t)-V_{out}(t) = RC\dfrac{dV_{out}(t)}{dt}$

Finalmente:

$\boxed{{\displaystyle RC{\displaystyle \frac{d{V}_{out}(t)}{dt}}+V_{out}(t)=V_{in}(t)}}$$\boxed{RC\dfrac{dV_{out}(t)}{dt}+V_{out}(t)=V_{in}(t)}$

Essa é a equação diferencial do circuito.

Numericamente, com $R=1,k\mathrm{\Omega }$$R=1,k\Omega$ e $C=1,\mu F$$C=1,\mu F$, teremos:

$RC={10}^3\times {10}^{-6}={10}^{-3}s$$RC=10^3\times10^{-6}=10^{-3}s$

Este valor vai corresponder à constante de tempo, $\tau$$\tau$, deste circuito. Entenderemos isto melhor mais adiante...

Então:

$0,001{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+V_{out}=V_{in}$$0,001\dfrac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=V_{in}$

ou:

$\boxed{{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}+1000V_{out}=1000V_{in}}}$$\boxed{\frac{dV_{out}}{dt}+1000V_{out}=1000V_{in}}$

Aplicando Degrau na entrada

Vamos supor que inicialmente o capacitor esteja descarregado:

$V_{out}(0^{-})=0$$V_{out}(0^-)=0$

e que em $t=0$$t=0$ a entrada passe instantaneamente de 0 para 5 V (degrau):

$V_{in}(t)=5\cdot u(t)$$V_{in}(t)=5 \cdot u(t)$

onde $u(t)$$u(t)$ é a função degrau unitário.

Queremos descobrir $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$

Resolvendo usando equação diferencial

Nossa equação é:

$RC{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+V_{out}=V_{in}$$RC\dfrac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=V_{in}$

Para $t>0$$t>0$:

$V_{in}=5$$V_{in}=5$

portanto:

$RC{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+V_{out}=5$$RC\dfrac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=5$

Substituindo $RC=0,001$$RC=0,001$:

$0,001{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+V_{out}=5$$0,001\dfrac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=5$

Dividindo por 0,001:

${\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+1000V_{out}=5000$$\dfrac{dV_{out}}{dt}+1000V_{out}=5000$

Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 1: solução homogênea

Primeiro resolvemos:

${\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+1000V_{out}=0$$\dfrac{dV_{out}}{dt}+1000V_{out}=0$

Portanto:

${\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}=-1000V_{out}$$\dfrac{dV_{out}}{dt}=-1000V_{out}$

Separando as variáveis:

${\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{V_{out}}}=-1000dt$$\dfrac{dV_{out}}{V_{out}}=-1000dt$

Integrando:

$\ln |V_{out}|=-1000t+K$$\ln|V_{out}|=-1000t+K$

Logo:

$V_{out}=K{e}^{-1000t}$$V_{out}=Ke^{-1000t}$

Passo 2: solução particular

Como o lado direito é uma constante, procuramos uma solução constante:

$V_{out,p}=A$$V_{out,p}=A$

Então:

${\displaystyle \frac{d{V}_{out,p}}{dt}}=0$$\dfrac{dV_{out,p}}{dt}=0$

Substituindo valores:

$0+1000A=5000$$0+1000A=5000$

Logo: $A=5$$A=5$

Portanto: $V_{out,p}=5$$V_{out,p}=5$

Passo 3: solução completa

A solução geral é:

$V_{out}(t)=V_{out,h}+V_{out,p}$$V_{out}(t)=V_{out,h}+V_{out,p}$

$V_{out}(t)=K{e}^{-1000t}+5$$V_{out}(t)=Ke^{-1000t}+5$

Agora precisamos determinar $K$$K$.

Como a tensão em um capacitor não pode mudar instantaneamente:

$V_{out}(0^{+})=V_{out}(0^{-})=0$$V_{out}(0^+)=V_{out}(0^-)=0$

Então:

$0=K{e}^0+5$$0=K e^0+5$

$K=-5$$K=-5$

Portanto:

$V_{out}(t)=5-5e^{-1000t}$$V_{out}(t)=5-5e^{-1000t}$

ou:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=5(1-e^{-1000t})}}$$\boxed{V_{out}(t)=5(1-e^{-1000t})}$

Como:

$\tau =RC=0,001$$\tau=RC=0,001$ (segundos)

podemos escrever de uma forma muito mais significativa:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=5(1-e^{-t/\tau })}}$$\boxed{V_{out}(t)=5\left(1-e^{-t/\tau}\right)}$

Significado da Constante de tempo

Significado da equação anterior... ou significado da constante de tempo RC:

Para:

• $t=0$$t=0$, teremos: $V_{out}=0$$V_{out}=0$
• $t=\tau =1$$t=\tau=1$ (ms), teremos, $V_{out}=5(1-e^{-1})\approx 3,16$$V_{out}=5(1-e^{-1}) \approx3,16$ (Volts)

Ou seja, após uma constante de tempo:

$V_{out}(\tau )\approx 63,2\mathrm{\%}$$V_{out}(\tau)\approx 63,2\%$ da tensão final.

Note:

Portanto, aproximadamente após: $5\tau =5(ms)$$5\;\tau=5\;(ms)$, podemos considerar o capacitor praticamente carregado.

Note que tabela acima poderia ter sido levantada numericamente usando o Octave/Matlab:

xxxxxxxxxx
octave:1> R=1e3;
octave:2> C=1e-6;
octave:3> tau=R*C
tau = 1.0000e-03
octave:4> t=0:tau:5*tau         % Note que t é uma matriz de 1 x 6
t =
 Columns 1 through 5:
             0    1.0000e-03    2.0000e-03    3.0000e-03    4.0000e-03
 Column 6:
    5.0000e-03

octave:5> Vout=5*(1-exp(-t/tau));
octave:6> size(Vout)            % Note que Vout = matriz 1 x 6
ans =
   1   6
octave:7> per=(Vout./5)*100;    % calculando em porcentagem
octave:8> [t' Vout' per']       % mostrando valores
ans =
         0         0         0
    0.0010    3.1606   63.2121
    0.0020    4.3233   86.4665
    0.0030    4.7511   95.0213
    0.0040    4.9084   98.1684
    0.0050    4.9663   99.3262

Simulando Entrada Degrau

Podemos plotar o gráfico de $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$:

xxxxxxxxxx
octave:9> ezplot('5*(1-exp(-1000*t))', [0 5e-3])
octave:10> grid

Obtendo:

• O próximo item: Realizando Transformada de Laplace sobre EDO do circuito RC.

Fernando Passold, em 13/08/2026.