Variando Frequência

Problema

Suponha o mesmo circuito analisando antes:

Mas agora vamos injetar uma onda senoidal com frequência variável na entrada deste circuito, o que acontece?

Resolvendo...

Se for criado um vetor que calcula como a magnitude e a fase na saída $V_{out}$$V_{out}$ variam conforme muda a frequência, você pode perceber que este circuito é um filtro passa-baixas de primeira ordem.

O gráfico que mosta este comportamento faz a frequência variar de forma logarítmica e normalmente, neste tipo de gráfico, o "ganho" do circuito é mostrado em dB, sendo que:

Ganho absoluto: $|H(j\omega )|=\left|{\displaystyle \frac{V_{out}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|$$\Big|H(j\omega)|=\left| \dfrac{V_{out}(j\omega)}{V_{in}(j\omega)} \right|$;

Ganho em dB (escala logarítmica): $|H(j\omega ){|}_{dB}=20\cdot {\log }_{10}(|H(j\omega )|)$$|H(j\omega)|_{dB}=20 \cdot \log_{10}(|H(j\omega)|)$

Este gráfico, é chamado de curva de resposta em frequência e faz parte do conhecido Diagrama de Bode.

Código circuito_RC_resp_freq.m:

xxxxxxxxxx
% Circuito RC
% Curva de Resposta em Frequência
% Fernando Passold, em 12/08/2026

clear;
close all;
disp('Resposta em Freq. de circuito RC')

R = 1e3;
C = 1e-6;

disp('Constante de tempo do circuito:')
tau = R*C
disp('Frequência de corte (rad/s):')
wc=1/(R*C)
disp('Frequência de corte (Hz):')
fc = 1/(2*pi*tau)

Vm = 5; % tensão de pico da senoide de entrada

f = logspace(0, 4, 400); % varia freq. de forma logaritmica entre 10^0 até 10^4 (em Hz), 400 pontos.

w = 2*pi*f; % calcula em rad/s

H = 1 ./ (1 + 1i*w*R*C);    % calcula H(jw)

% Obs.: note que jw resulta um número complexo, assim H(jw) = número complexo

magnitude = abs(H);     % determina o módulo de H(jw)
fase = angle(H)*180/pi; % determina a fase do número complexo h(jw)

figure;
semilogx(f, 20*log10(magnitude), 'LineWidth', 1.5);
grid on;

xlabel('Frequência (Hz)');
ylabel('|H(f)| (dB)');
title('Magnitude da resposta em frequência do circuito RC');

O código anterior deve ter gerado na tela de comandos:

xxxxxxxxxx
octave:28> circuito_RC_resp_freq
Resposta em Freq. de circuito RC
Constante de tempo do circuito:
tau = 1.0000e-03
Frequência de corte (rad/s):
wc = 1000
Frequência de corte (Hz):
fc = 159.15
octave:29>

e uma janela gráfica como:

Note como que a partir de determina frequência, o ganho cai (o sinal de saída sofre uma atenuação, valores em dB negativos).

E podemos calcular a frequência de corte:

${\omega }_c={\displaystyle \frac{1}{RC}}$$\omega_c=\dfrac{1}{RC}$ (rad/s)

$f_c={\displaystyle \frac{1}{2\pi RC}}$$f_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$ (Hz)

Neste caso:

$\boxed{{\displaystyle f_c=159,15Hz}}$$\boxed{f_c=159,15Hz}$

Na frequência de corte, o sinal é atenuado de $-3$$-3$ dB, o que equivale à:

$-3=20\cdot {\log }_{10}(|H|)$$-3=20 \cdot \log_{10}(|H|)$

$|H|={10}^{-3/20}={10}^{-0,15}=0,7079$$|H|=10^{-3\big/20}=10^{-0,15}=0,7079$

Ou, fazendo os cálculos:

$H(j\omega )={\displaystyle \frac{1}{1+jwRC}}={\displaystyle \frac{1}{1+j\omega {\displaystyle \frac{1}{{\omega }_c}}}}$$H(j \omega) = \dfrac{1}{1 + j\,w\,R\,C}=\dfrac{1}{1+j\,\omega\,\dfrac{1}{\omega_c}}$

Quando $\omega ={\displaystyle \frac{1}{RC}}={\omega }_c$$\omega = \dfrac{1}{RC} = \omega_c$ (ou $f=f_c$$f=f_c$), ocorre:

$H(j{\omega }_c)={\displaystyle \frac{1}{1+j\cancel{{\omega }_c}{\displaystyle \frac{1}{\cancel{{\omega }_c}}}}}={\displaystyle \frac{1}{1+j}}$$H(j\omega_c)= \dfrac{1}{1+j \, \cancel{\omega_c} \, \dfrac{1}{ \cancel{\omega_c} } } = \dfrac{1}{1+j}$

Módulo:

$|H(j{\omega }_c)|=\left|{\displaystyle \frac{1}{1+j}}\right|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{1,4142}}=0,7071$$|H(j\omega_c)|=\left| \dfrac{1}{1+j} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{1}{1,4142} = 0,7071$

$|H(j{\omega }_c){|}_{dB}=20{\log }_{10}(0,7071)=-3,0103$$|H(j\omega_c)|_{dB}=20 \, \log_{10}(0,7071)=-3,0103$ (dB)

Fase:

$\mathrm{\angle }H(j{\omega }_c)=\mathrm{\angle }\left({\displaystyle \frac{1}{1+j}}\right)$$\angle H(j\omega_c)=\angle \left( \dfrac{1}{1+j} \right)$

Mas:

$H(j{\omega }_c)={\displaystyle \frac{1}{1+j}}\cdot {\displaystyle \frac{1-j}{1-j}}={\displaystyle \frac{1-j}{1^2-j^2}}={\displaystyle \frac{1-j}{1-(-1)}}={\displaystyle \frac{1-j}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-j{\displaystyle \frac{1}{2}}$$H(j\omega_c)=\dfrac{1}{1+j} \cdot \dfrac{1-j}{1-j}=\dfrac{1-j}{1^2-j^2}=\dfrac{1-j}{1-(-1)}=\dfrac{1-j}{2}=\dfrac{1}{2}-j\dfrac{1}{2}$

$\mathrm{\angle }H(j{\omega }_c)={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{-1/2}{1/2}}\right)={\tan }^{-1}(-1)=-{45}^o$$\angle\,H(j\omega_c)=\tan^{-1}\left( \dfrac{-1/2}{1/2} \right)=\tan^{-1}\left( -1 \right)= -45^o$ (ou ${315}^o$$315^o$)

Então na frequência de corte o sinal de entrada sofre uma atenuação (queda) de 3 dB e uma defasagem de ${45}^o$$45^o$.

Fernando Passold, 13/08/2026.