Projeto de Controladores

Aula de 28/04/2025. Iniciando nova seção de trabalho (recuperando arquivo dados.mat):

xxxxxxxxxx
>> diary aula_2804025.txt
>> % Recuperando dados da aula anterior:
>> what % lembrar/veriricar arquivos de dados
​
MATLAB Code files in the current folder /Volumes/DADOS/Users/fpassold/Documents/UPF/Controle_3/2025_1
​
find_polo_zero_d  
​
MAT-files in the current folder /Volumes/DADOS/Users/fpassold/Documents/UPF/Controle_3/2025_1
​
ControlSystemDesignerSession-PI3   
ControlSystemDesignerSession_PI1a  
dados                              
​
>> load dados % carregando dados da aula passada
>> close all  % fechhando qualquer janela gráfica aberta

Projeto Controladores Ação Derivativa

Teoria sobre Ação Derivativa? Rever:

• Teoria inicial sobre Ação Derivativa + Filtros;
• Resumo Controladores PD & Lead (arquivo PDF; Aula de 21/05/2020);

Projeto de PD 1

Nosso controlador segue a eq. genérica:

$C(z)=\dfrac{K(z+z_C)}{z+p_C}$

Como se trata de um PD já sabemos onde estará localizado o pólo deste controlador ($p_C=0$; na origem do plano-z). Nossa única incógnita está associada com saber onde posicionar o zero deste controlar, mas sabemos que $z_C < 1$ (não pode estar localizado sobre o círculo unitário). Mas pode-se especultar 3 posições diferentes para o zero deste controlador quando associado com planta que desejamos controlar:

xxxxxxxxxx
>> zpk(BoG)   % lembrando da nossa planta
​
ans =
 
  0.00012224 (z+2.747) (z+0.1903)
  --------------------------------
  (z-0.9048) (z-0.8187) (z-0.3679)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

Analisando 3 opções para o zero do PD (recomenda-se ver antes: Projeto de Controlador PD (Aula de 28/05/2020)):

Casos sendo analisados:

• a) $0,9048<z_C<1$: o esboço do RL revela:
• b) $0,8187<z_C<0,9048$: o esboço deste RL revela: Comparando (a) e (b), percebemos que esta opção (b) é melhor que a opção (a).
• c) $0,3679<z_C<0,8187$: este RL revela: A opção (c) parece tão boa quanto a opção (b).

Iniciando pelo controlador do caso (b):

xxxxxxxxxx
>> C_PDb = tf([1 -0.85], [1 0], T)   % definindo tf deste controlador
​
C_PDb =
 
  z - 0.85
  --------
     z
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

Completando projeto usando App Control System Designer:

Segue 1a-versão do PDb:

Notamos que O tempo de assentamento deste PD em comparação ao Controlador Proporcianal é quase 4 vezes menor. Os projetos anteriores de controladores Proporcinais (aula 31/03/2025) permitiram: $3,54 <t_s< 4,7$ (segundos).

Melhorando esta versão: aumentando o ganho para $\max\{ y[kT]\} \cong 1,15$ ($\%OS \cong 15\%$):

Supondo que a "meta" seja projetar um controlador duas vez mais rápido que um Controlador Proporcional, teremos um requisito como: $t_s < 2,0$ (segundos).

Obs.: Lembrar de exportar tf deste controlador para uma variável no workspace, neste caso: PDb:

xxxxxxxxxx
>> zpk(PDb)
​
ans =
 
  677 (z-0.85)
  ------------
       z
 
Name: C
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
​
>> 

Falta testar: Opção (c) e opção (d) (o zero do PD cancela o 2o-pólo mais lento da planta).

Projeto de PD 2: opção (c)

A idéia deste PD é alocar o zero do PD entre os 2 pólos mais "internos" da planta: $0,3679 < z_{PDc} < 0,8187$:

xxxxxxxxxx
>> zero_PDc=(0.8187+0.3679)/2
zero_PDc =
       0.5933

Completando o projeto no App Control System Designer

Arrastando zero do controlador para mais próximo do pólo em $z = 0,8187$:

Exportado a tf deste controlador na variável PDc:

xxxxxxxxxx
>> zpk(PDc)
​
ans =
 
  530 (z-0.76)
  ------------
       z
 
Name: C
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
​
>> 

Comparando este PD com o anterior:

Este PD é similar em desempenho ao PD anterior, e este PD (c), gera uma "pressão de controle" (amplitudes máximas do sinal de controle, $\max\{u[kT]\}$) mais baixa que o PD (b), por este motivo, é preferível inmplementar o PD (c), além de resultar num erro de regime permanente ligeiramente menor.

Resta testar um PD que cancela o 2o-pólo mais lento da planta.

Projeto de PD 3: Opção (d)

Desta vez, vamos alocar o zero do PD exatamente sobre o 2o-pólo mais lento da planta em $z=0,8187$

xxxxxxxxxx
zpk(BoG)
​
ans =
 
  0.00012224 (z+2.747) (z+0.1903)
  --------------------------------
  (z-0.9048) (z-0.8187) (z-0.3679)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

Controlador PD (d) sintonizado:

xxxxxxxxxx
>> zpk(PDd)
​
ans =
 
  630 (z-0.8187)
  --------------
        z
 
Name: C
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

Note:

• com o cancelamento do 2o-pólo mais lento da planta, reduzimos a complexidade do sistema em MF (de 4a-ordem passou para 3a-ordem, em MF);
• Este é o PD mais rápido possível para esta planta.

Última tabela comparativa:

Se quisermos comparar respostas à entrada degrau destes controladores:

xxxxxxxxxx
>> ftma_PDb=PDb*BoG;
>> ftma_PDc=PDc*BoG;
>> ftma_PDd=PDd*BoG;
>> ftmf_PDb=feedback(ftma_PDb,1);
>> ftmf_PDc=feedback(ftma_PDc,1);
>> ftmf_PDd=feedback(ftma_PDd,1);
>> figure; step(ftmf_PDb, ftmf_PDc, ftmf_PDd, ftmf_K)

Obs.: ftmf_K corresponde ao controlador Proporcional com $K=86$.

Encerrando atividades desta aula:

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>> save dados
>> diary off
>> quit

Fernando Passold, em 28/04/2025