Projeto de Controladores usando Root Locus

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Aula anterior: de 14/05/2026. Aquivo de dados: planta.mat.

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>> load planta  % recuperando dados da aula passada

🎵.

Projeto de PD

Embasamento Teórico

Para lembrar de conceitos associados com controlador PD, revisar:

1. Ação Derivativa (Aula de 26/10/2019) que explica porque não se fecha uma malha de controle apenas com ação Derivativa (recomenda-se realizar as simulações sugeridas usando Matlab/Simulink).
2. Resumo teoria à respeito de Controladores PD e Lead (por Avanço de Fase) (Aula de 02/06/2021): mostra o diagrama em blocos de um controlador PD e Lead (por Avanço de Fase).

Projeto de PD usando "Chute Científico"

A exemplo do que foi realizado no projeto do PI, esboçamos diferentes opções de localização para o zero do PI e esboçamos diagramas de Root Locus associados com cada opção para avaliar teoricamente as melhores opções de posicionamento do mesmo.

Neste instante, estamos realizando o projeto de um PD, cuja equação é:

$C_{PD}(s)=K_p+K_{d}s=K_d(s+{\displaystyle \frac{K_p}{K_d}})=K(s+z_{PD})$$C_{PD}(s)=K_p + K_d\,s = K_d \left( s + \dfrac{K_p}{K_d} \right) = K(s+z_{PD})$

notamos que as únicas incógnitas agora são a posição do zero do PD ($z_{PD}$$z_{PD}$) e seu ganho genérico que pode ser facilmente determinado usando a ferramenta Root Locus.

De modo similar ao que foi realizado na aula de 03/10/2019 (Projeto de PD), podemos prever 4 posições diferentes para o zero do PD:

• Caso 1) $z_{PD}$$z_{PD}$ entre a origem do plano-s e o pólo mais lento da planta em $s=-2$$s=-2$;
• Caso 2) $z_{PD}$$z_{PD}$ entre os 2 pólos mais lentos da planta (entre $s=-2$$s=-2$ e $s=-6$$s=-6$);
• Caso 3) $z_{PD}$$z_{PD}$ sobre o 2o-pólo mais lento da planta (em $s=-2$$s=-2$ provocando intencionalmente um cancelamento pólo-zero, o que implica ainda na redução da ordem do sistema);
• Caso 4) $z_{PD}$$z_{PD}$ entre o 2o-pólo mais lento da planta (em $s=-6$$s=-6$) e seu pólo mais rápido (em $s=-12$$s=-12$).

Como o planta da aula de 03/10/2019 também era um sistema de 3a-ordem, sem zeros, semelhante ao adotado neste semestre, os esboços para os Root Locus nos permitiram concluir que as melhores opções de posicionamento do pólo do PD seriam o caso (2) e (4). O caso (3) corresponde ao PD mais rápido possível de ser realizado para este tipo de sistema.

Mas desta vez não vamos seguir esta abordagem para definição do PD e vamos optar por realizar este projeto usando contribuição angular.

Projeto de PD usando Contribuição Angular

Nesta aula em particular vamos usar o script find_polo_zero.m, para realizar o projeto do PD usando Contribuição Angular.

Verificando se ele já se encontra na pasta (folder) de trabalho atual:

>> what

MATLAB Code files in the current folder /Volumes/DADOS/Users/fpassold/Documents/UPF/Sistemas de Controle/2026_1/Matlab_2026_1

find_polo_zero  

MAT-files in the current folder /Volumes/DADOS/Users/fpassold/Documents/UPF/Sistemas de Controle/2026_1/Matlab_2026_1

matlab  planta  

Este script exige a presença da variável ftma_aux previamente preparada no workspace do Matlab para funcionar:

help find_polo_zero
  find_polo_zero.m
  
  Angular contribution routine to find out where to locate pole or zero 
  of the controller depending on the desired location for MF poles
 
  Use:
  This routine already expects a tf named "ftma_aux"
    ftma_aux(s)=C(s)'*G(s);
  where: C(s)' is almost the full tf of the controller, 
         except for the pole or zero that this routine is expected to 
         determine using angular contribution.
  
  This routine uses angular contribution to find the position of the pole
  or the zero that is necessary to complete the tf of the controller.
  It asks almost at the end, whether the user wants to find out the 
  position of the pole or the zero that is missing.
 
  Fernando Passold, 14/10/2020, 20/10/2020, 30/10/2022, 30/11/2022.

E claro, para poder trabalhar com contribuição angular, necessitamos da definição de algum critério temporal de resposta ($t_p=$$t_p=$ tempo no instante do pico do overshoot, $t_r=$$t_r=$ tempo de subida ou $t_{=}$$t_=$ tempo de assentamento). O scipt tal como está codificado só trabalha (e pede) um valor numérico para $t_s$$t_s$, além do valor máximo tolerado para o overshoot. Desta forma, esta rotina consegue, usando a regra do Root Locus, determinar com presição onde deve ser posicionado o zero do PD.

Regra do Root Locus, estabele que:
Para que alguma curva (traçado) do Root Locus passe por determinado ponto no plano-s, deve ocorrer a seguinte premissa:

$\left(\text{Número ímpar}\right)\times {180}^o=\sum {\theta }_{Zeros}-\sum {\theta }_{Pólos}$$\left( \text{Número ímpar}\right) \times 180^o = \sum \theta_{Zeros} - \sum \theta_{Pólos}$

Se esta regra for obedecida, o traçado do RL passará sobre este ponto no plano-s.

Este ponto no plano-s corresponde à posição desejado para os pólos de MF de forma a cumprirem os requisitos desejados para $\mathrm{\%}OS$$\%OS$ e $t_s$$t_s$ (ou outro critério temporal). Lembrar do item 6) Respostas de Sistemas Lineares onde foram estudados diferentes casos de respostas temporais para sistemas de 2a-ordem. Note que neste caso, temos um sistema de 3a-ordem, mas o mesmo possui um pólo real distante do eixo $j\omega$$j \omega$ o que nos permite aproximar a resposta do nosso sistema, para um de 2a-ordem.

Note que se um sistema em MF (sua $FTMF(s)$$FTMF(s)$) resultar num sistema de 2a-ordem, do tipo:

$FTMF(s)={\displaystyle \frac{b}{s^2+as+b}}={\displaystyle \frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_n+{\omega }_n^2}}={\displaystyle \frac{K}{(s+p_1)(s+p_2)}}$$FTMF(s)=\dfrac{b}{s^2+as+b} = \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2} = \dfrac{K}{(s+p_1)(s+p_2)}$

se o mesmo for exposto à uma entrada degrau, teremos como resposta sub-amortecida (com overshoot), pólos de MF nas posições: $s=-\sigma \pm j{\omega }_d$$s=-\sigma \pm j \omega_d$, onde $\sigma ={\omega }_n\zeta$$\sigma = \omega_n \zeta$ e ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$.

E neste caso em particular podemos prever certas características temporais de resposta:

$t_p={\displaystyle \frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}}$$t_p = \dfrac{\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}$ $t_s={\displaystyle \frac{-\ln (0,02\sqrt{1-{\zeta }^2})}{\zeta {\omega }_n}}\cong {\displaystyle \frac{4}{\zeta {\omega }_n}}$$t_s = \dfrac{-\ln\left( 0,02 \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n} \cong \dfrac{4}{\zeta \omega_n}$ $t_r={\displaystyle \frac{0,6+2,16\zeta }{{\omega }_n}}$$t_r = \dfrac{0,6+2,16 \zeta}{\omega_n}$

Note que o valor de $\zeta$$\zeta$ pode ser encontrado se o usuário especifica o valor máximo de $\mathrm{\%}OS$$\%OS$ permitido para o caso:

$\zeta ={\displaystyle \frac{-\ln \left(\mathrm{\%}OS/100\right)}{\sqrt{{\pi }^2+{\ln }^2\left(\mathrm{\%}OS/100\right)}}}$$\zeta = \dfrac{-\ln \left( \%OS/100 \right)}{\sqrt{\pi^2+\ln^2\left( \%OS/100 \right)}}$

Então agora só temos que definir a variável ftma_aux que corresponde à:

$\text{ftma\_aux}=C^{\prime }(s)\cdot G(s)$$\text{ftma\_aux}=C'(s) \cdot G(s)$

onde: $C^{\prime }(s)=$$C'(s)=$ equação (transfer function) do controlador com todos os dados já conhecidos com exceção do ganho geral $K$$K$ à ser encontrado usando Root Locus com os eventuais pólos e zeros já existentes com exceção o pólo ou zero que se pretende determinar usando o script.

Neste caso, a equação do PD é:

$C_{PD}(s)=K_p+K_{d}s=K(s+z_{PD})$$C_{PD}(s)=K_p + K_d \; s = K(s+z_{PD})$

onde: $z_{PD}=$$z_{PD}=$ zero do PD, a incógnita que queremos que seja determinada via contribuição angular usando o script.

Então, neste caso em particular:

$\text{ftma\_aux}=K\cdot G(s)$$\text{ftma\_aux}=K \cdot G(s)$

como $K$$K$ é determinado à posteriori usando Root Locus, a equação da $FTMA(s)$$FTMA(s)$ auxiliar equivale a equação da planta simplesmente.

>> ftma_aux = G;
>> find_polo_zero

Routine to determine the position of the pole or zero
that is missing to complete controller design

%OS$ (desired Overshoot, in %): ? 15
  ts_d (desired settling time): ? 0.75
Desired MF poles must be located at:
    s = -5.33333 ± j8.83189

Evaluating the pole(s) contribution angle(s):
  Pole 1) in s=-12 + j(0)   | angle: 52.95^o
  Pole 2) in s=-6 + j(0)    | angle: 85.68^o
  Pole 3) in s=-2 + j(0)    | angle: 110.68^o
            Sum(angle{poles}) = 249.31^o

Evaluating the zero(s) contribution angle(s):
            Sum(angle{zeros}) = 0.00^o

Determining pole or zero location of the controller:
Select: [p]=pole or [z]=zero, for the controller ? z

Angle contribution required for controller: 69.31^o
This means that the controller 
    ZERO must be at s = -8.66819

To finish the project, note that:

ftma =
 
     72 (s+8.668)
  ------------------
  (s+12) (s+6) (s+2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Find the controller gain with the command:

    >> K_ = rlocfind(ftma)

>>

Neste ponto, foram geradas 2 janelas gráficas. A primeira demonstrando os cálculos da contribuição angular e posição final encontrada para o zero do PD e a segunda janela mostrando o RL final com a $FTMA(s)$$FTMA(s)$ já incluindo a equação completa do controlador, bastando então apenas sintonizar o controlador (definir seu ganho).

Gráfico das contribuições angulares com determinação do zero do PD:

RL final do PD:

Note que a posição encontrada para o zero do PD coincide com o caso (4) abordado na aula de 03/10/2019. Isto significa que um PD ainda mais rápido é possível para esta planta.

Sintonizando este controlador e verificando resposta final em malha-fechada para entrada degrau unitário:

>> ftma_PD=ftma;    % realizando um "backup" da FTMA(s) da Planta + PD recém calculado
>> zpk(ftma_PD)

ans =
 
     72 (s+8.668)
  ------------------
  (s+12) (s+6) (s+2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

>> K_PD = rlocfind(ftma)    % encontrando valor do ganho
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -5.3519 +     8.8928i
K_PD =
       1.3768
>> 
>> ftmf_PD=feedback(K_PD*ftma, 1);  % fechando a malha
>> pole(ftmf_PD)    % opcionalmente mostrando pólos de MF
ans =
      -5.3373 +     8.8937i
      -5.3373 -     8.8937i
      -9.3254 +          0i
>> figure; step(ftmf_PD)    % resposta ao degrau para MF

Resposta final em MF para entrada (referência) degrau unitário:

Note que o PD acelerou a resposta do sistema, mas o PD não é capaz nem é direcionado para zerar erro em regime permanente:

>> dcgain(ftmf_PD)  % valor final atingido pela saída do sistema: y(∞)
ans =
      0.85647
>> erro_PD=(1-dcgain(ftmf_PD))/1*100    % calculando erro regime permanente: e(∞)
erro_PD =
       14.353

Note que o overshoot atingido é em relação ao valor final atingido pelo sistema, não em relação à referência. Se percebe que a saída do sistema, mau ultrapassou o valor 1,0 ― isto significa que é possível aumentar ainda mais o ganho do PD para tentar $Max\{y(t)\}\approx 1,15$$Max\{ y(t) \} \approx 1,15$. E aumentar o ganho provavelmente deve acelerar um pouco mais a resposta do sistema e mais desejavelmente, reduzir o erro de regime permanente. Mas nesta aula, não vamos proceder a uma "sintonia fina" deste PD, porque demandaria algum tempo e existem ferramentas do próprio Matlab mais apropriadas para este ajuste fino.

Lembrando o ganho usado para este PD:

>> K_PD
K_PD =
       1.3768

Tentando um PD mais rápido

O que podemos testar de forma mais rápida é se é possível reduzir ainda mais o tempo de assentamento desta planta com um PD. Digamos, tentar baixar de 0,75 segundos para 0,5 segundos.

>> 1.5/3    % 1/3 do valor do ts do Controlador Proporcional usando ganho K2.
ans =
          0.5
>> 
>> % Outro PD (mais rápido)...
>> 
>> find_polo_zero

Routine to determine the position of the pole or zero
that is missing to complete controller design

%OS (desired Overshoot, in %): ? 15
  ts_d (desired settling time): ? 0.5
Desired MF poles must be located at:
    s = -8 ± j13.2478

Evaluating the pole(s) contribution angle(s):
  Pole 1) in s=-12 + j(0)   | angle: 73.20^o
  Pole 2) in s=-6 + j(0)    | angle: 98.59^o
  Pole 3) in s=-2 + j(0)    | angle: 114.37^o
            Sum(angle{poles}) = 286.15^o

Evaluating the zero(s) contribution angle(s):
            Sum(angle{zeros}) = 0.00^o

Determining pole or zero location of the controller:
Select: [p]=pole or [z]=zero, for the controller ? z

Angle contribution required for controller: 106.15^o
This means that the controller 
    ZERO must be at s = -4.16368

To finish the project, note that:

ftma =
 
     72 (s+4.164)
  ------------------
  (s+12) (s+6) (s+2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Find the controller gain with the command:

    >> K_ = rlocfind(ftma)

>> ftma_PD2=ftma;
>> K_PD2=rlocfind(ftma)
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -7.9969 +     13.246i
K_PD2 =
       2.7148

Root Locus deste PD:

Note que o zero do PD mudou de local — para o caso (2) se tivéssemos usado o método do "chute cientifico" (aula de 03/10/2019). E note também que o ganho aumentou, o que provavelmente deve implicar num erro de regime permanente menor.

Fechando a malha e verificando resultados obtidos:

xxxxxxxxxx
>> ftmf_PD2=feedback(K_PD2*ftma, 1);
>> figure; step(ftmf_k2, ftmf_PD, ftmf_PD2)
>> legend('Prop (K_2)', 'PD', 'PD_2')

Resposta obtida, comparando com outros controladores:

Encerrando esta seção de trabalho:

xxxxxxxxxx
>> save planta 
>> diary off
>> exit

A 2a-parte da aula, continua [aqui] com o projeto de um PID para esta planta.

Fernando Passold, em 30/05/2026