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Projeto de Controladores Usando Root Locus

Aula de 14/05/2026, continuação da aula de 07/05/2026.

🎵.

Recuperando dados da seção de trabalho anterior (arquivo planta.mat):

>> what

MAT-files in the current folder /Volumes/DADOS/Users/fpassold/Documents/UPF/Sistemas de Controle/2026_1/Matlab

planta  

Ok, o arquivo planta.mat é o que contêm as variávreis acumuladas das seções de trabalho.

>> load planta % recuperando os dados da seção de trabalho anterior
>> diary aula_140502026.txt % criando novo diário

Projeto de PI

Usando método do "chute científico".

Equação do PI:

$C_{PI}(s)={\displaystyle \frac{K(s+z_{PI}}{s}}$$C_{PI}(s)=\dfrac{K(s+z_{PI}}{s}$

onde:

• existe um pólo na origem (em $s=0$$s=0$): o integrador;

• existe um zero: $z_{PI}$$z_{PI}$

Incógnitas e observações:

• O ganho $K$$K$ será determinado via Root Locus;

• falta definir a posição do zero do PI ($z_{PI}$$z_{PI}$).

Lembrando da eq. da planta:

>> zpk(G)

ans =
 
          72
  ------------------
  (s+12) (s+6) (s+2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Adicionando a eq. da planta com a eq. do controlador, no plano-s teremos algo como:

Plano-s:                         ^jw
                                 |
   (d)     (c)      (b)     (a)  |
 <--o---x---o----x---o---x---o---x----
-∞    -12       -6      -2       |   𝜎
                                 |
                                 |

Podemos alocar o zero do PI entre os pólos da planta, implicando nas opções:

a) pólo em: $-2 < z_{PI} < 0$ (entre o integrador e o pólo mais lento da planta); b) pólo em: $-6 < z_{PI} < -2$ (entre os 2 pólos mais lentos da planta); c) pólo em: $-12 < z_{PI} < -6$; d) pólo em: $-\infty < z_{PI} < -12$; (menor que $-12$$-12$, na direção para $-\mathrm{\infty }$$-\infty$).

Cada opção rende um novo traçado no RL. A idéia é esboçar como ficaria o RL para cada uma das opções, incluir a linha guia referente à $\zeta$$\zeta$ (ou $\mathrm{\%}OS$$\%OS$) e optar pela(s) opção(ões) mais promissora(s) (a que rende menor $\mathrm{\%}OS$$\%OS$ e menor $t_s$$t_s$).

Analisando os RLs obtidos, as opções que parecem ser as mais promissoras são a: (b) e (c) e eventualmente poderíamos considerar a opção (e) (zero do PI exatamente sobre o pólo mais lento da planta). Esta opção realiza um cancelamento pólo-zero (ao menos na teoria), reduz a complexidade (ordem) do sistema de 4a-ordem para 3a-ordem e (pelo traçado do RL) renderia o PI mais rápido para esta planta.

PI: Avaliando Opções (b), (c) e (e)

Localizando o zero do PI em: $-6 < z_{PI} < -2$.

>> (6+2)/2 % arbitrando uma opção para este zero (simples média aritmética)
ans =
     4
>> PIb = tf ( [1 -4] , [1 0] )

PIb =
 
  s - 4
  -----
    s
 
Continuous-time transfer function.

>> % Ops... Notamos que criamos um zero "instável" (no semi-plano real positivo do plano-s; erro)
>> PIb = tf ( [1 4] , [1 0] )

PIb =
 
  s + 4
  -----
    s
 
Continuous-time transfer function.

>> ftma_pib = PIb * G;
>> zpk(ftma_pib)

ans =
 
        72 (s+4)
  --------------------
  s (s+12) (s+6) (s+2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

>> rlocus(ftma_pib)
>> axis([-20 4 -15 15])
>> hold on; sgrid(zeta,0)

Vamos aproveitar e levantar o RL das outras opções:

>> PIc = tf ( [1 9] , [1 0] )

PIc =
 
  s + 9
  -----
    s
 
Continuous-time transfer function.

>> ftma_pic = PIc * G;
>> figure; rlocus(ftma_pic)
>> hold on; sgrid(zeta,0)
>> axis([-20 4 -15 15])
>> 
>> PIe = tf ( [1 2] , [1 0] )

PIe =
 
  s + 2
  -----
    s
 
Continuous-time transfer function.

>> ftma_pie = PIe * G;
>> figure; rlocus(ftma_pie)
>> hold on; sgrid(zeta,0)
>> % Definindo o mesmo "range" para todos os gráficos de RL:
>> axis([-20 4 -15 15])
>> axis([-15 2 -7.5 7.5])
>> % Aplicando o mesmo range nos 3 RLs (gráficos) plotados
>> figure(1); axis([-15 2 -7.5 7.5])
>> figure(2); axis([-15 2 -7.5 7.5])
>> figure(3); axis([-15 2 -7.5 7.5])

Temos então:

RL PI, Opção (b)	RL PI, Opção (c)	RL PI, Opção (a)

Sintonizando cada PI... Lembrar de 2 critérios temporais:

• resposta criticamente amortecida (sem overshoot), mas a mais rápida possível;

• resposta sub-amortecida (aceita overshoot de até 15%).

>> % PI (b)
>> figure(1)
>> [K_pib,polosMF]=rlocfind(ftma_pib) % sem overshoot
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -1.0272 -   0.023148i
K_pib =
      0.25487
polosMF =
      -12.195 +          0i
      -5.7609 +          0i
      -1.0219 +   0.022548i
      -1.0219 -   0.022548i
>> [K_pib2,polosMF]=rlocfind(ftma_pib) % com overshoot 15%
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -1.0272 +     1.6898i
K_pib2 =
      0.91319
polosMF =
      -12.637 +          0i
      -5.2776 +          0i
      -1.0429 +     1.6899i
      -1.0429 -     1.6899i
>> 
>> % Fechando a malha
>> 
>> K_pib1=0.25; % ganho sem overshoot
>> K_pib2=1.0; % ganho sem overshoot
>> 
>> ftmf_pib1 = feedback(K_pib1*ftma_pib, 1);
>> pole(ftmf_pib1)
ans =
      -12.192
      -5.7652
      -1.1602
     -0.88294
>> 
>> ftmf_pib2 = feedback(K_pib2*ftma_pib, 1);
>> 
>> figure; step(ftmf_pib1, ftmf_pib2)
>> % Levantando outro gráfico comparando com resposta de Controladores Proporcionais:
>> figure; step(ftmf_k2, ftmf_k3)
>> % Levantando outro gráfico comparando com Integradores Puros
>> figure; step(ftmf_i1, ftmf_i2)

Obtemos as seguintes respostas para entrada (referência) degrau unitário:

Controlador Proporcional	Integradores Puros	PIs (b) e (c)

Observe os 3 gráficos e repare como cada controlador se comporta.

Resumindo:

• Controlador Proporcional não zera erro em regime permanente, mas, serve como "referência" para o projeto de outros controladores;

• Ação Integral Pura zera erro em regime permanente, mas atrasa consideravelmente a resposta do sistema;

• Controlador PI (Proporcional + Integral) zera o erro de regime permanente sem comprometer tanto o atraso na resposta do sistema.

Falta sintonizar os outros PI's

>> figure(2); % foco no RL do PI(c)
>> [K_pic1,polosMF]=rlocfind(ftma_pic) % sem overshoot
Select a point in the graphics window
selected_point =
     -0.92455
K_pic1 =
      0.09613
polosMF =
      -12.029
      -6.1334
     -0.92455
     -0.91323
>> [K_pic2,polosMF]=rlocfind(ftma_pic) % com overshoot 15%
>> figure(2) % garantir foco na janela com RL correspondente
>> [K_pic2,polosMF]=rlocfind(ftma_pic) % com overshoot 15%
Select a point in the graphics window
selected_point =
     -0.78773 +     1.3003i
K_pic2 =
      0.27375
polosMF =
      -12.082 +          0i
      -6.3372 +          0i
      -0.7904 +     1.3008i
      -0.7904 -     1.3008i
>> 
>> % fechando as malhas
>> 
>> ftmf_pic1 = feedback(K_pic1*ftma_pic, 1); % sem overshoot, opção c
>> ftmf_pic2 = feedback(K_pic2*ftma_pic, 1); % com overshoot, opção c
>> figure; step(ftmf_pic1, ftmf_pic2)
>> 
>> % PI mais rápido...
>> 
>> % sintonizando...
>> 
>> figure(3)
>> [K_pie1,polosMF]=rlocfind(ftma_pie) % sem overshoot, opção e
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -2.5437
K_pie1 =
       1.1547
polosMF =
      -12.928
      -2.5437
      -2.5281
           -2
>> [K_pie2,polosMF]=rlocfind(ftma_pie) % com overshoot, opção e
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -2.0254 +     3.2972i
K_pie2 =
       2.9158
polosMF =
      -13.909 +          0i
      -2.0457 +     3.3029i
      -2.0457 -     3.3029i
           -2 +          0i
>> 
>> % Fechando a malha...
>> 
>> ftmf_pie1 = feedback(K_pie1*ftma_pie, 1); % sem overshoot, opção e
>> ftmf_pie2 = feedback(K_pie2*ftma_pie, 1); % sem overshoot, opção e
>> figure; step(ftmf_pie1, ftmf_pie2)

Resultados obtidos para PI mais rápido (opção (e)):

Compare com os outros resultados obtidos e coonfirme que este seria o PI mais rápido possível de ser realizado para esta planta.

Encerrando seção de trabalho

xxxxxxxxxx
>> save planta % salvando os novos dados
>> diary off % fechando arquivo diary que estava sendo gerado
>> quit

Fernando Passold, em 21/05/2026.