Trabalho Final 2026/1

Enunciado

Simule o resultado da aplicação de um filtro rejeita-faixa sobre uma onda quadrada ― guiar-se pela figura abaixo:

Sabe-se que:

1. A onda quadrada oscila em 349,23 Hz (Fá 4a-oitava), com amplitude de 2,5 Volts de pico e offset de 2,5 Volts (ou seja, um sinal TTL).

2. A onda quadrada passa pelo filtro rejeita-faixa elíptico que atenua a banda passante entre: [2400, 5300] Hz. As 7a e 15a harmônmicas serão atenuadas. A função transferência deste filtro corresponde à:

   $H(s)={\displaystyle \frac{(s^2+2.589e04s+5.022e08)(s^2-5443s+3.551e08)(s^2-7696s+7.1e08)}{(s+7.88e04)(s+6373)(s^2+2539s+2.119e08)(s^2+6017s+1.19e09)}}$$H(s)=\dfrac{(s^2 + 2.589e04s + 5.022e08) (s^2 - 5443s + 3.551e08) (s^2 - 7696s + 7.1e08)}{(s+7.88e04) (s+6373) (s^2 + 2539s + 2.119e08) (s^2 + 6017s + 1.19e09)}$

   Mais detalhes sobre este filtro e sua função transferência seguem mais abaixo.

    

O trabalho deve mostrar:

1. a) Síntetize da Onda quadrada usando Série de Fourier (considerar entre 75 e 100 harmônicas (frequência máxima entre 26192 Hz e 34923 Hz). Deve mostar numa tabela ao menos os componentes das 20 primeiras harmônicas. Usar o formato exponecial da Série: $y(t)=V_{offset}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}Amplitud{e}_n(n\cdot 2\cdot \pi \cdot f_{base}\cdot t+{\theta }_n)}$$y(t) = V_{offset} + \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} Amplitude_n \left( n \cdot 2 \cdot \pi \cdot f_{base} \cdot t + \theta_n \right)$.

   b) Montar ou apresentar uma tabela relacionando harmônica $\times$$\times$ frequência $\times$$\times$ amplitude $\times$$\times$ fase, como mostrado abaixo:

   

   c) Mostre algum diagrama espectral da Onda quadrada relacinando amplitude $\times$$\times$ frequência da harmônica. d) Mostre a forma de onda resultante da sua série de Fourier.

2. Com relação ao filtro: a) mostrar o diagrama de Bode do filtro (amplitude e fase), ressaltando as frequências $f_1$$f_1$ e $f_2$$f_2$ associadas com a faixa rejeitada.

3. Aplique a função transferência do filtro sobre os componentes espectrais da onda quadrada (série de Fourier calculada anterior), descobrindo a atenuação e defasagem provocada pelo filtro em todas as suas harmônicas. a) Mostre numa tabela como o filtro vai atenuar e defasar o sinal de entrada para as 20 primeiras harmônicas (da frequência de base = 349,23 Hz até 6.984,6 Hz). Aplique estes dados sobre os dados espectrais da onda quadrada e gere uma nova tabela ou vetor de amplitudes e defasagens finais para cada harmônica da onda quadrada. b) Mostre numa outra tabela o resultado da aplicação do filtro sobre os componentes da onda quadrada para as primerias 20 harmônicas.

4. Por fim, volte a usar a Série de Fourier para recompor o sinal temporal obtido na saída deste filtro para este sinal de entrada. Mostre a forma de onda resultante final, depois de passar por este filtro.

5. Sugere-se usar o comando sound( . ) para ouvir os sinais e o comando audiowrite( . ) do Matlab para a criação de arquivos wave tanto do sinal original de entrada quanto do sinal de saída (o filtrado).

6. Disponibilizar os códigos usados para resolver este trabalho e os eventuais aruqivos wave.

Note que:

1. Como a onda quadrada é formada usando Série de Fourier. No caso abaixo, foram sintetizadas até 100 componentes de frequência (até 99a-harmônica), oscilando em 220 Hz. No caso da figiura abaixo, foi mostrada apenas 1,5 ciclos da onda quadrada:

Segue um espectro da onda Quadrada (de 220 Hz):

O filtro Rejeita-Faixa

A idéia deste trabalho foi avaliar como a eliminação de certos componentes de um sinal o afeta.

Neste caso em particular, aplicar um filtro rejeita-faixa para remover as harmônicas ímpares entre a 7ª e a 15ª de uma onda quadrada, resulta num timbre mais oco, redondo e parecido com o de uma flauta ou clarinete. O som perderá o "brilho" metálico e a aspereza característicos de uma quadrada, ganhando então um caráter mais suave. Note que as harmônicas mais altas contribuem com o "corpo" agudo e o som cortante característico da onda quadrada.

No caso deste trabalho vamos usar filtros elípticos para rejeitar uma dterminada faixa. Este filtro foi formado por um filtro passa-baixsa (FPB) e um filtro passa-altas (FPA) conectados em paralelo a um circuito somador usando Amp.Op.. Filtros elípticos foram usados pois permitem uma taxa de decaimento bem mais rápida que um filtro Butterworth (ou outros tipos de filtros). Do ponto de vista de álgebra de diagrama de blocos, a função transferência final fica:

$H(s)=H_{FPB}(s)+H_{FPA}(s)$$H(s)= H_{FPB}(s) + H_{FPA}(s)$

O FPB possui frequência de corte em $f_1=$$f_1=$ 2300 Hz. E o FPA possui frequência de cortem em $f_2=$$f_2=$5300 Hz.

Foi defindo uma queda máxima de 3 dB nas frequências de corte (parâmetro Rp) e estipulado uma atenuação mínima de 20 dB na banda passante (parâmetro Rs) na função ellip( . ) do Matlab usada para encontrar as funções transferência dos filtros. E foi estipulado o usao de filtros de 3a-ordem.

A função ellip( . ) do Matlab segue a síntaxe:

xxxxxxxxxx
[b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wp,fType)

onde:

• b= corresponde ao polinômio do numerador;
• a= corresponde ao polinômio do denominador;
• n= corresponde à ordem requerida para o filtro;
• Rp= ripple máximo tolerado para o fitro associado sua frequência de atuação;
• Rs= atenuação mínima requerida para o filtro na banda em relação à banda passante.

Para saber mais sobre esta função entre em Matlab Help Center > ellip.

Então os seguintes comandos foram executados para obter a função transferência deste filtro:

xxxxxxxxxx
% Calculando equações dos filtros
w1=2*pi*f1;
w2=2*pi*f2;
n = 3; % ordens dos filtros
% No caso de filtro ellíptico:
% Rp = decibeis no ripple (queda em fc)
Rp=3; % 3 db == atenuação de 0.70795 (ou 1.4125x)
% Rs = decibeis mínimos na banda passante
Rs=20; % 20 db == atenuação de 0.1 (ou 10x)
% filtro Passa-Baixa:
[num_PB, den_PB] = ellip(n, Rp, Rs, w1, 'low', 's');
H_FPB = tf(num_PB, den_PB); % tf do filtro Passa-Baixa
% filtro passa-altas
[num_PA, den_PA] = ellip(n, Rp, Rs, w2, 'high', 's');
H_FPA = tf(num_PA, den_PA); % tf do filtro Passa-Alta
% tf final do filtro
H = H_FPB + H_FPA;
[num,den]=tfdata(H,'v'); % permite separa polinômios do numerador e denominador

Você pode usar a função zero( . ) e pole( . ) para obter os zeros e pólos deste filtro:

xxxxxxxxxx
>> zero (H)
ans =
       -12943 +      18294i
       -12943 -      18294i
       3848.2 +      26367i
       3848.2 -      26367i
       2721.6 +      18648i
       2721.6 -      18648i
>> pole(H)
ans =
       -78797 +          0i
      -3008.5 +      34365i
      -3008.5 -      34365i
      -1269.5 +      14502i
      -1269.5 -      14502i
      -6372.9 +          0i

O diagrama de Bode deste fitro corresponde apareceu na figura inicial desta página (acima).

Exemplo de uso de projeto de filtro Butterworth, ver Projeto de Filtro Butterworth.

Dicas

1. Comandos do Matlab para gerar Diagramas de Bode mais “customizados”:

xxxxxxxxxx
% comandos associados com função bodeplot
opts = bodeoptions;             % cria um objeto para editar propriedades do Bode
opts.MagUnits = 'abs';          % ou use: opts.MagUnits = 'dB';
opts.PhaseWrapping = 'off';     % opcional (teste)
opts.FreqUnits = 'Hz';
figure; bodeplot(H, opts) 
xlim([100 100E3])               % restringir para faixa de interesse

Exemplos ver: Diagramas_de Bode usando Matlab .

2. Cálculo do Impacto do Filtro

Você pode calcular o ganho/atenuação e defasagem provocada por um filtro sobre certa frequência, subtituíndo $s\to j\omega$$s \rightarrow j\omega$ na equação $H(s)$$H(s)$ do filtro ou seja:

$|H(j\omega )|=$$|H(j\omega)|=$ ganho/atenução em valores absolutos; $\mathrm{\angle }H(j\omega )=$$\angle{H(j\omega)}=$ defasagem (normalmente em radianos, mas pode ser expresso em graus também).

fazendo algo como:

x
w = 2*pi*freq;  % freq em Hz passa para rad/s
clear j         % para limpar qualquer eventual variável j já usada anteriormente (gera conflito)
s = j*w;                        % faz a transformação s --> jw (gera número imaginário)
Num_jw = polyval(num, s);       % substitiu e calcula numericamente valor anterior nos termos em s
Den_jw = polyval(den, s);
G = Num_jw/Den_jw;              % calcula H(jw) = número complexo
G_abs = abs(G);                 % ganho em valores absolutos
G_db  = 20*log10(abs(G));       % ganho em dB
phase_rad = angle(G);           % defasagem em radianos
phase_deg = rad2deg(phase_rad); % defasagem em graus

Obviamente que será necessário realizar este cálculo para cada frequência desejada que faz parte das harmônicas do sinal de entrada.

E note que a forma que o filtro afeta a magnitute e fase de cada componentes do sinal pode ser calculado como:

xxxxxxxxxx
amp(k) = amp_origem(k)*ganho_filt(k);
hase(k) = phase_origem(k) + phase_filt(k);

onde o índice k acima corresponde ao número da harmõnica do sinal de entrada.

Se $k$$k$ for inserido num for basta “varrer” todas as harmônicas ou componentes do sinal para obter o resultado final desejado.

3. Idéia para Resulução do Trabalho

Sugere-se o desenvolvimento de script (códigos) separados no trabalho para resolução de cada etapa do mesmo e eventual uso de arquivos CSV para troca de dados entre os mesmos.

Ver: Idéias_para Resolução_do Trabalho.html .

4. Uso de Arquivos CSV no Matlab

A página Trabalhando com arquivos CSV no Matlab exempifica como trabalhar com arquivos CSV no Matlab.

5. Exemplo de Resultados Obtidos

A página Resultados Trabalho permite ter uma idéia dos resultados sendo esperados.

Datas & Entregáveis:

• Deadline (prazo para entrega) do trabalho: $+3$$+3$ semanas (até 26/06/2026).

• Entregáveis:

  • Arquivo PDF documentando trabalho realizado;
  • Arquivos zipados dos códifos desenvolvidos, eventualmente incluindo arquivos .wave dos sinais original e filtrado.

• Enviar por e-mail para: fpassold@upf.br.

Fernando Passold, em 02/06/2026 – 06/06/2026.