Filtros no Matlab

Projeto do Filtro Butterworth

Normalmente a função [b, a] = butter( n, wn ) do Matlab é usada para projetar um filtro digital de ordem$-n$$-n$., com frequênica de corte ${\omega }_n$$\omega_n$ devendo estar na faixa $0<{\omega }_n<1$$0 < \omega_n < 1$, onde 1 correspodende a metada da taxa de amostragem (relação com Teorema de Nyquist). $B$$B$ corresponde ao vetor associado com o polinômio do numerador e $A$$A$ vai estar associado com o polinômio do denominador, cada um conntendo $n+1$$n+1$ termos.

Se wn for um vetor com 2 elementos,: wn = [w1 w2], a função butter(n, wn) vai retornar um filtro passa-faixa “duplo” de ordem $2\times n$$2 \times n$ com banda passante: ${\omega }_1<\omega <{\omega }_2$$\omega_1 < \omega < \omega_2$.

Para forçar um filtro alalógico devemos introduzir o parâmetro s como string mesmo: butter(n, wn, 's'). Neste casom obviamente ${\omega }_n$$\omega_n$ deve ser fornecido em rad/s e pode ser maior do que 1.

Exemplo${}_1$$_1$: Projeto de um filtro passa-baixas de 2a-ordem com $f_c=440$$f_c=440$ Hz:

>> fc = 400;
>> wc = 2*pi*fc
wc =
       2513.3
>> [num, den] = butter(2, wc, 's')
num =
            0            0   6.3165e+06
den =
            1       3554.3   6.3165e+06
>> H = tf(num, den)

H =
 
         6.317e06
  -----------------------
  s^2 + 3554 s + 6.317e06
 
Continuous-time transfer function.

>> zpk(H)

ans =
 
         6.3165e+06
  ------------------------
  (s^2 + 3554s + 6.317e06)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

>> options = bodeoptions;
>> options.FreqUnits = 'Hz';
>> options.MagUnits = 'dB';
>> bodeplot(H, options)
>> grid
>> xlim([100 1000])

Que rende o diagrama de Bode:

Lembrando que a equação genérica de um filtro passa-baixas Butterworth é do tipo:

$|H(j\omega )|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }_c}}\right)}^{2n}}}}$$|H(j\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+ \left( \dfrac{\omega}{\omega_c} \right)^{2n}}}$

ou:

$H(s)={\displaystyle \frac{K}{{\mathrm{\Pi }}_{k=1}^n(s-p_k)}}$$H(s)=\dfrac{K}{\Pi_{k=1}^{n} \left( s - p_k\right)}$

onde os pólos $p_k$$p_k$ do filtro ficam posicionados simetricamente em um semicírculo no semiplano esquerdo do plano complexo.

Calculo de Ganho e Fase em Freq qualquer

Calculando ganho e defasagem em $f=$$f=$ 700 Hz:

>> f=700;
>> w=2*pi*f
w =
       4398.2
>> % s=jw
>> s=j*w
s =
            0 +     4398.2i
>> b=polyval(num, s)
b =
   6.3165e+06
>> a=polyval(den, s)
a =
  -1.3028e+07 + 1.5633e+07i
>> G = b/a
G =
     -0.19872 -    0.23845i
>> G_abs = abs(G)
G_abs =
       0.3104
>> G_dB = 20*log10(abs(G))
G_dB =
      -10.162
>> phase_rad = angle(G)
phase_rad =
      -2.2656
>> help rad2deg
  rad2deg Convert angles from radians to degrees.
    rad2deg(X) converts angle units from radians to degrees for each
    element of X.
 
    See also deg2rad.

    Documentation for rad2deg
    Other functions named rad2deg

>> phase_deg = rad2deg(phase_rad)
phase_deg =
      -129.81

ou seja, em $f=$$f=$ 700 Hz, $\omega =$$\omega=$ 4398,2 rad/s, a expressão $H(j\omega )$$H(j\omega)$, resulta:

$H(j\omega ){|}_{\omega =2\pi 400}={\displaystyle \frac{6,3165\times {10}^6}{-1,3028\times {10}^7+j1,5633\times {10}^7}}=-0,9872-j0,23845$$H(j\omega) \vert_{\omega = 2\pi\,400} = \dfrac{6,3165 \times 10^{6}}{-1,3028 \times 10^{7} + j1,5633 \times 10^{7}}=-0,9872 - j0,23845$

$|H(j\omega )|=0,3104$$|H(j\omega)|=0,3104$

ou

$H(j\omega )|=-10,162$$H(j\omega)|=-10,162$ dB

$\mathrm{\angle }H(j\omega )=-129,{81}^o$$\angle H(j\omega) = -129,81^o$.

Referências:

1. Matlab Help Center > bodeplot.
2. Electronics Tutorials > Filters / Butterworth Filter Design.
3. WikiPedia > Filtro Butterworth.

Fernando Passold, em 05/06/2026.