Trabalho #1

Sobre Teorema de Amostragem e Transformada-$\mathcal{Z}$.

1. (70%) Suponha uma onda senoidal de 1 Volt de pico, oscilando na frequência de 1.0 KHz.

   Explique matematicamente (50%) e considerando o teorema de amostragem (50%), o que acontece quando:

   a) Este sinal é amostrado à $f_s=$ 2.0 KHz;

   b) Este sinal é amostrado à $f_s=$ 4.0 KHz;

   c) Este sinal é amostrado à $f_s=$ 10.0 KHz;

   Espera-se: equações, cálculos, tabelas e gráfico mostrando na mesma figura, duas curvas: uma do sinal original contínio no tempo e outra (sobreposta) sinal amostrado.

2. (30%) Considere agora que seu sistema está amostrando uma onda quadrada oscilando na frequência de 1.0 KHz, e que você resolveu amostrá-la à taxa de $f_s=$ 5.0 KHz. Faça o que se pede à seguir:

   a) Recorde da Série de Fourier (equações) e verifique o espectro (harmônicas e amplitudes) presentes em uma onda quadrada. Considere o caso deste sinal e apresente uma tabela relacionando frequência (das harmônica) x Amplitude (de cada harmônica). Sugere-se plotar este gráfico.

   b) Suponha que seu sistema de aquisição seja precedido de um filtro passa-baixas ideal com frequência de corte, $f_c=$ 2,5 KHz. Explique o que ocorre com o sinal original depois de passar por este filtro. Melhor se for apresentado um espectro resultante do sinal filtrado (depois da onda quadrada passar pelo filtro).

   c) Aplique o teorema da amostragem sobre o sinal anterior (filtrado) -- apenas no domínio frequência. Não é necessário considerar a função Sampling e seu efeito na modulação da amplitude do sinal amostrado envolvido. Pode ser considerado uma amostragem ideal. Neste caso, esboce o espectro final do sinal amostrado.

   d) Considere que seu sistema de amostragem: 1) digitaliza o sinal (o sinal passa por um Filtro passa-baixas, depois entra no conversor A/D), 2) aplica um ganho unitário sobre o sinal digital adquirido e 3) que o sinal volta ao sistema depois de passar pelo D/A + Filtro Passa-Baixas. Considere que o filtro passa-baixas tanto o antes do A/D qunato o depois do D/A seja o mesmo do item (b).

   e) Complete uma tabela como a mostrada abaixo

   Harmônica	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
   Frequência (KHz)	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0	10.0	11.0	12.0	13.0	14.0	15.0	16.0	17.0
   Amplitude (pico)	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_	_

   para:

   e.1) A onda quadrada original (não filtrada, não amostrada);

   e.2) O resultado da onda quadrada depois que passa pelo filtro passa-baixas (antes do A/D);

   e.3) O resultado da onda do item (2) depois que é amostrada (eventualmente considerando a função Sampling; neste caso: $\tau=T$);

   e.4) O resultado da onda reconstituída (depois de passar pelo filtro passa-baixas após o D/A).

   f) Use os resultados numéricos obtidos na tabela anterior para mostrar num mesmo gráfico (pode ser um esboço), o que aconteceu com o espectro original da onda quadrada.

   g) Use o Matlab (ou outro software) para recompor e mostrar num gráfico, o sinal reconstituído (sinal amostrado à 5.0 KHz) sobreposto ao sinal original da onda quadrada (sintetizada usando série de Fourier até a 17a-harmônica).

   h) Explique o que ocorreu com auxílio dos diagramas de espectro de sinal em cada etapa da fase de digitalização e recomposição do sinal.

   Referências:

   • Síntese de Onda Quadrada usando Série de Fourier (e Matlab);
   • Amostragem de Onda Dente de Serra (uso de Matlab).

Obs.: Sugere-se o uso do Matlab para cálculos e composição dos gráficos.

Exemplo de códigos Matlab:

Por exemplo, a figura abaixo mostra uma onda senoidal de 1 Hz, amostrada à 5 Hz:

Código Matlab:

​x
>> f=1;                 % freq. original do sinal em Hz
>> w=2*pi*f;        % freq angular em rad/s
>> Toriginal=1/f;
>> t=0:Toriginal/200:Toriginal*2;   % cria vetor tempo para 2 ciclos do sinal continuo, 200 pontos por ciclo
>> y=sin(w*t);  % calcula vetor do sinal original
>> plot(t,y)        % mostra gráfico do sinal original
>> fs=2;                % amostragem à 2 Hz
>> fs=5;                % amostragem à 5 Hz
>> T=1/fs               % calcula período de amostragem (em segundos) e mostra resultado
T =
​
          0.2
>> kT=0:Toriginal/fs:Toriginal*2;   % cria vetor tempo das amostras 
>> size(kT)                                                 % tamanho do vetor - qtdade amostras geradas em 2 ciclos
ans =
     1    11
>> yd=sin(w*kT);    % cria vetor do "sinal digital"
>> hold on              % comando para permitir sobreposição de gráficos
>> stem(kT,yd)      % plota sinais amostrados
>> grid

Você pode trocar a linha do comando stem(kT,yd) por stairs(kT,yd) e acrescentar o comando legend('y(t)','y[kT]'), o que resultará em:

Fernando Passold, em 11/03/2024.