Projeto de Controladores (Cont)

Controladores com Ação Derivativa

Aula de 20/10/2023
Dados desta aula podem ser recuperados à partir de planta.mat

Projeto de PD

Recuperando dados da aula passada:

>> load planta

Lembrando da equação genérica do PD
(ver "Dedução Controladores PD & Lead) (arquivo PDF; Aula de 21/05/2020)"):

CPD(z)=K(z−zPDzC_{PD}(z) = \dfrac{K(z-z_{PD}}{z}

A única incógnita é a posição do zero do PD: zPDz_{PD}.

Podemos adotar o mesmo raciocínio empregado em "Projeto de Controlador PD (Aula de 28/05/2020)".

Lembrando da nossa planta:

>> zpk(BoG)

ans =
 
   0.00046711 (z+3.27) (z+0.2335)
  --------------------------------
  (z-0.9608) (z-0.9048) (z-0.6703)
 
Sample time: 0.02 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

Seguindo este mesmo raciocínio, parece ser melhor localizar o zero do PD entre os 2 pólos mais dominantes (mais lentos) da planta:

>> z_PD=(0.9608+0.9048)/2        % Calculando o valor geométrico médio entre os 2 pólos
z_PD =
       0.9328
>> z_PD=0.93;
>> C_PD1 = tf([1 -z_PD],[1 0], T)

C_PD1 =
 
  z - 0.93
  --------
     z
 
Sample time: 0.02 seconds
Discrete-time transfer function.

>> ftma_PD1 = C_PD1*BoG;
>> zpk(ftma_PD1)

ans =
 
  0.00046711 (z+3.27) (z-0.93) (z+0.2335)
  ---------------------------------------
    z (z-0.9608) (z-0.9048) (z-0.6703)
 
Sample time: 0.02 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

>> rlocus(ftma_PD1)
>> hold on; zgrid(zeta,0)
>> axis([0.4 1.1 -0.6 0.6])
>> [K_PD1,polosMF_PD1] = rlocfind(ftma_PD1)
Select a point in the graphics window
selected_point =
      0.80225 +    0.20805i
K_PD1 =
       25.218
polosMF_PD1 =
      0.93332 +          0i
      0.80195 +    0.20805i
      0.80195 -    0.20805i
    -0.013055 +          0i
>> K_PD1 = 25;

O RL para este PD fica:

Fechando a malha com o ganho encontrado:

>> ftmf_PD1 = feedback(K_PD1*ftma_PD1, 1);
>> figure; step(ftmf_PD1, ftmf_K_OS10, ftmf_PI5)
>> legend('PD1', 'K (%OS=10%)', 'PI5')

Vamos obter o seguinte resultando, já comparando este PD (PD1) com a resposta obtida no projeto de outros controladores:

Melhorando o PD usando App Control System Designer

Podemos melhorando projeto com App Control System Designer.

Lembrando de fazer alguns ajustes iniciais:

Importando o controlador PD1 já realizado:

Não esquecendo de importar a planta (principalmente):

Editando o ganho do controlador:

Aumentando o ganho para 49:

Exportando a equação deste PD para a janela de comandos do Matlab:

>> zpk(C_PD2)

ans =
 
  49 (z-0.93)
  -----------
       z
 
Name: C
Sample time: 0.02 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

Conclusão: Aumentar o ganho implicou reduzir o erro em regime permanente (como esperado).

PD cancelando um dos pólos da planta

Suponha que agora vamos cancelar o 2o-polo mais lento da planta com o zero do PD3:

Ajustando o zero do PD3:

Resultado final obtido:

Exportando controlador como PD3:

zpk(C_PD3)

ans =
 
  42 (z-0.9048)
  -------------
        z
 
Name: C
Sample time: 0.02 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

Conclusão: Este seria o PD mais rápido possível de poder ser realizado (em teoria) para esta planta.

Salvando seção de trabalho do App Control System Designer em: ControlSystemDesignerSession_PD.mat.

Salvando dados de todos os projetos já realizados:

>> save planta
>> % Encerrando o "diary"
>> diary off
>> quit

Fernando Passold, em 20/10/2023