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Projeto de Controladores Usando Root Locus

Aula de 07/05/2026

🎵

Iniciando Seção de Trabalho no Matlab

>> cd('/Volumes/DADOS/Users/fpassold/Documents/UPF/Sistemas de Controle/2026_1') % chaveando para diretório desejado
>> diary aula07052026.txt % "dump file" dos comando usados

Estudo de Caso

A ideia é avaliar diferentes controladores para um mesmo processo ou planta.

Será percebido que alguns tipos de controladores vão deixar à desejar quanto à requisitos de controle. Outros controladores vão permitir atingir os requisitos de controle.

A ideia é perceber as limitações de cada controlador, quando ocorrem e perceber alguma forma de solucionar estas limitações.

Planta Usada

Neste semestre vamos experimentar com o seguinte processo ou planta:

$G(s)={\displaystyle \frac{72}{(s+2)(s+6)(s+12)}}$$G(s)=\dfrac{72}{(s+2)(s+6)(s+12)}$

Trata-se de um processo de 3a-ordem, do tipo 0, com um par de pólos mais dominantes (em $s=-2$$s=-2$ e outro em $s=-6$$s=-6$).

Ingressando a planta no Matlab:

>> G=tf(72,poly([-2 -6 -12]));
>> zpk(G) % para verificação

ans =
 
          72
  ------------------
  (s+12) (s+6) (s+2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

>> dcgain(G) % por curiosidade
ans =
          0.5

Repare que esta planta possui um ganho DC baixo, $<1$, isto é, ela atenua qualquer sinal colocado na sua entrada o que significa que muito provavelmente qualquer controlador projetado para esta planta terá que injetar mais energia no sistema para compensar esta "atenuação".

Requisitos de Controle

Temos que definir requisitos mínimos de controle. Então vamos supor que ao fecharmos a malha para controlar este sistema, é desejado:

• 2 tipos de resposta:

  • Criticamente amortecido ( $\zeta =1$$\zeta=1$; pólos dominantes de 2a-ordem iguais) ou eventualmente super-amortecido ( $\zeta>1$; pólos dominantes de 2a-ordem diferentes):

  

  

  • Sub-amortecido ( $0< \zeta < 1$; pólos dominantes de 2a-ordem complexos) $\Rightarrow \%OS=$15%:

  

Inicialmente (com base no controlador Proporcional) vamos comparar o $t_s$$t_s$ (tempo de assentamento) obtido entre os diferentes controladores.

Normalmente o simples fato de fechar uma malha de controle já permite acelerar a resposta de um sistema, antes em malha-aberta, de 3 à 4 vezes. Mas o resultado final depende da planta (seus pólos e zeros).

Calculando alguns parâmetros no Matlab:

>> OS=15;   % overshoot
>> zeta=(-log(OS/100))/(sqrt(pi^2+(log(OS/100)^2))) % fator amortecimento para este %OS
zeta =
      0.51693

1) Controlador Proporcional

Vamos iniciar pelo controlador mais simples possível e que serve como base (referência) para os próximos controladores à serem explorados, principalmente no tocante à tempo de resposta (ou tempo de assentamento), $t_s$$t_s$.

Equação do controlador:

$C(s)=K$$C(s)=K$.

Isto significa que projetar este controlador implica apenas fechar a malha definindo um ganho "conveniente" para a malha-fechada. O Root Locus sozinho já permite definir este ganho e antecipar resultados que podem ser obtidos.

>> rlocus(G)
>> hold on; sgrid(zeta,0) % sobrepondo linha guia para o %OS/zeta desejado

RL obtido para esta planta:

Controle Proporcional para resposta criticamente amortecida

Sintonizado (definindo ganho do) Controlador para resposta criticamente amortecida:

>> axis([-8 1 -2 8]) % "zoom" na região de interesse
>> [K1,polosMF]=rlocfind(G) % definindo o ponto desejado
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -3.7666 -   0.003096i
K1 =
      0.45118
polosMF =
      -12.479
      -3.7657
      -3.7558
>> axis([-13 1 -2 8]) % para mostar os 3 pólos de MF encontrados

Note como ficou o RL com a definição deste valor de ganho:

Fechando a malha a avaliando resultado obtido:

>> ftmf_k1=feedback(K1*G, 1);
>> pole(ftmf_k1) % opcional
ans =
      -12.479
      -3.7657
      -3.7558
>> figure; step(ftmf_k1)

Resposta para degrau unitário (referência adotada):

>> stepinfo(ftmf_k1) % mostra no CLI resultados obtidos
ans = 
  struct with fields:

        RiseTime: 0.91839
    SettlingTime: 1.6433
     SettlingMin: 0.16585
     SettlingMax: 0.18406
       Overshoot: 0
      Undershoot: 0
            Peak: 0.18406
        PeakTime: 3.421

Repare na figura anterior, o enorme erro de regime permanente, $e(\mathrm{\infty })$$e(\infty)$:

>> figure; step(ftmf_k1)
>> ylim([0 1.1])

Podemos calcular o erro de regime permanente:

xxxxxxxxxx
>> dcgain(ftmf_k1) % resulta o valor de y(∞)
ans =
      0.18407
>> erro_k1=(1-dcgain(ftmf_k1))/1*100 % calculando o erro regime permanente
erro_k1 =
       81.593

Confirmamos que o erro é enorme, muito provavelmente não desejado, o que significa que fechar a malha com controlador Proporcional e usando este valor de ganho é intolerável. Leva a um erro inadmissível. Pelo que já estudamos em Teoria do Erro, muito provavelmente apenas elevar o ganho já vai permitir reduzir o erro de regime permanente, mas provavelmente às custas de oscilações. Para saber, só avaliando (sim... executando mais comandos, mais cálculos, 🙂‍↕️).

Controle Proporcional para resposta sub-amortecida

Vamos aumentar o ganho do controlador lembrado que podemos optar por resposta sub-amortecida com $\mathrm{\%}OS=15\mathrm{\%}$$\%OS=15\%$. Então voltaremos ao Root Locus da planta e vamos definir outro valor de ganho:

xxxxxxxxxx
>> [K2,polosMF]=rlocfind(G)
Select a point in the graphics window
selected_point =
      -2.7322 +      4.517i
K2 =
       3.6531
polosMF =
      -14.484 +          0i
      -2.7582 +     4.5271i
      -2.7582 -     4.5271i

O RL com este ganho fica:

Fechando a malha com este valor de ganho para avaliar a resposta obtida:

xxxxxxxxxx
>> ftmf_k2=feedback(K2*G, 1);
>> pole(ftmf_k2)
ans =
      -14.484 +          0i
      -2.7582 +     4.5271i
      -2.7582 -     4.5271i
>> figure; step(ftmf_k2)
>> ylim([0 1.1]) % definindo uma região de interesse (opcional)

Resposta obtida para este novo valor de ganho:

Notamos que:

• Erro (de regime permanente) foi reduzido (mas ainda é elevado, $\cong$$\cong$ 40%);

• O overshoot calculado (e mostrado) pelo Matlab se refere ao valor de regime permanente atingido pela planta ($y(\mathrm{\infty })$$y(\infty)$) e não ao valor de regime permanente final desejado para planta. Lembrar que referência = igual degrau unitário, então $r(\mathrm{\infty })=1$$r(\infty)=1$ e consequentemente o desejado seria $y(\mathrm{\infty })=1$$y(\infty)=1$ (erro nulo neste caso).

• Através de várias tentativas e erro podemos tentar encontrar um novo valor de ganho para tentar alcançar $\mathrm{\%}OS\cong 15\mathrm{\%}$$\%OS \cong 15\%$ em relação à entrada degrau, mas esta tarefa consume muito tempo (algo improdutiva) e de qualquer forma, como este é um sistema do tipo 0, a Teoria do Erro nos garante que nunca vamos anular o erro de regime permanente apenas com Controlador Proporcional. Então vamos mudar nossa estratégia e tentar calcular (ao invés de ficar testando) o valor de ganho que seja capaz de atender algum requisito de erro máximo tolerável.

Controle Proporcional Limitando Erro

O objetivo agora é manter erro abaixo de 10%. Eventualmente às custas de certo $\mathrm{\%}OS$$\%OS$. Por hora, só podemos encontrar este valor de ganho e esperar que, com sorte, o $\mathrm{\%}OS$$\%OS$ final obtido esteja dentro dos requisitos de controle desejados.

Com base na Teoria do Erro, temos que:

$e(\mathrm{\infty }){|}_{\text{Degrau}}={\displaystyle \frac{1}{1+K_p}}$$e(\infty)\vert_{\text{Degrau}}=\dfrac{1}{1+K_p}$.

onde: $K_p=$$K_p=$ Constante de erro estático de Posição.

Isolando $K_p$$K_p$ na equação anterior, obtemos:

$K_p={\displaystyle \frac{1-e(\mathrm{\infty })}{e(\mathrm{\infty })}}$$K_p=\dfrac{1-e(\infty)}{e(\infty)}$

Neste caso, foi especificado erro máximo de 10%, $\Rightarrow e(\mathrm{\infty })=$$\Rightarrow e(\infty)=$ 0,1. Isto implica:

xxxxxxxxxx
>> Kp=(1-0.1)/0.1
Kp =
     9

Temos que calcular agora o $K_p$$K_p$, Constante de erro estático de Posição:

$K_p={\displaystyle \underset{s\to 0}{lim}FTMA(s)}$$K_p=\displaystyle\lim_{s \to 0} FTMA(s)$.

onde:

$FTMA(s)=C(s)\cdot G(s)$$FTMA(s)=C(s) \cdot G(s)$.

Neste caso em particular:

$K_p={\displaystyle \underset{s\to 0}{lim}{K}_3\cdot \frac{72}{(s+2)(s+6)(s+12)}}$$K_p=\displaystyle\lim_{s \to 0} K_3 \cdot \dfrac{72}{(s+2)(s+6)(s+12)}$

$K_p=K_3\cdot {\displaystyle \frac{72}{(2)(6)(12)}}=K_3\cdot {\displaystyle \frac{{\cancel{72}}^1}{{\cancel{144}}^2}}={\displaystyle \frac{K_3}{2}}$$K_p=K_3 \cdot \dfrac{72}{(2)(6)(12)}=K_3 \cdot \dfrac{\cancel{72}^{1}}{\cancel{144}^2}=\dfrac{K_3}{2}$

Note:

xxxxxxxxxx
>> 2*6*12
ans =
   144

Como é desejado $K_p=9$$K_p=9$:

$9={\displaystyle \frac{K_3}{2}}$$9 = \dfrac{K_3}{2}$

então finalmente:

$K_3=9\cdot 2=18$$K_3=9 \cdot 2 = 18$

Testando no Matlab:

xxxxxxxxxx
>> K3=18;
>> figure; rlocus(G)
>> ftmf_k3=feedback(K3*G, 1);
>> polos_MF=pole(ftmf_k3)
polos_MF =
      -18.386 +          0i
     -0.80711 +     8.8131i
     -0.80711 -     8.8131i
>> figure(4)
>> hold on;
>> plot(real(polos_MF), imag(polos_MF), "r+", 'MarkerSize', 12) % (opcional) mostra onde foram parar os pólos de MF para K3

RL obtido neste caso:

Fechando malha com este ganho

xxxxxxxxxx
>> figure; step(ftmf_k3)

Resposta em MF para degrau unitário na entrada:

Repare que:

• Resposta bastante oscilatória, com overshoot (alguns picos ultrapassando o valor 1,0);

• Mas... erro limitado à 10% ✔

• $\mathrm{\%}OS$$\%OS$=50% (em relação ao degrau unitário);

• $t_s=$$t_s=$ 4,73 segundos. Parece um bom valor!? Provavelmente devido as oscilações o sistema demora mais tempo para entra na faixa dos 2% de variação da resposta (critério para regime permanentte, no caso, $t_s=4,73$$t_s=4,73$ segundos, mas lento que os outos controladores já propostos com outros valores de ganho, mas erro muito maior).

Resumo gráfico Controladores Proporcionais

xxxxxxxxxx
>> figure; step(ftmf_k2, ftmf_k3)

Este último gráfico nos apresenta um panorama geral dos resultados que podem ser obtidos fechando a malha apenas com Controlador Proporcional para este tipo de planta.

Notamos, entre outros detalhes, que este controlador para este tipo de planta nunca vai eliminar o erro de regime permanente. A única forma de eliminar este erro, é transformando a $FTMA(s)$$FTMA(s)$ num sistema tipo 1, com 1 integrador. Se a planta não possui integrador, significa que fica a cargo do projetista introduzir o integrador que falta (👐).

2) Controlador Somente Ação Integral

Equação: $C_i(s)={\displaystyle \frac{K_i}{s}}$$C_{i}(s)=\dfrac{K_i}{s}$.

Objetivo: zerar erro de regime permanente com a introdução do integrador na $FTMA(s)$$FTMA(s)$.

Usando Matlab:

xxxxxxxxxx
>> C_I=tf(1,[1 0])

C_I =
 
  1
  -
  s
 
Continuous-time transfer function.

>> ftma_i=C_I*G % calculando a nova FTMA(s)

ftma_i =
 
                72
  ------------------------------
  s^4 + 20 s^3 + 108 s^2 + 144 s
 
Continuous-time transfer function.

>> zpk(ftma_i)

ans =
 
           72
  --------------------
  s (s+12) (s+6) (s+2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

>> close all % fechar janelas gráficas
>> rlocus(ftma_i)
>> hold on; sgrid(zeta,0)

Temos agora um novo RL, já que o acréscimo de um pólo ao sistema anterior, elevou a ordem do sistema para 4a-ordem, resultando obviamente num RL diferente (outro comportamento para o sistema em MF):

Realizando zoom na região de interesse e definindo valores de ganho:

xxxxxxxxxx
>> axis([-3 1 -2 5])
>> 
>> [K_i1,polosMF]=rlocfind(ftma_i) % ganho para resposta criticamente amortecida
Select a point in the graphics window
selected_point =
     -0.86256 +   0.004644i
K_i1 =
       0.7797
polosMF =
       -11.92 +          0i
       -6.359 +          0i
     -0.86059 +  0.0042019i
     -0.86059 -  0.0042019i
>> [K_i2,polosMF]=rlocfind(ftma_i) % ganho para resposta com overshoot de 15%
Select a point in the graphics window
selected_point =
     -0.68246 +     1.1316i
K_i2 =
       1.9711
polosMF =
      -11.787 +          0i
      -6.8319 +          0i
     -0.69035 +     1.1339i
     -0.69035 -     1.1339i

RL resultante após definição dos ganhos:

Fechando a malha e comprovando resultados obtidos:

xxxxxxxxxx
>> ftmf_i1=feedback(K_i1*ftma_i, 1);
>> ftmf_i2=feedback(K_i2*ftma_i, 1);
>> 
>> figure; step(ftmf_i1, ftmf_i2)

Comparando Integrador "puro" com Proporcional

Comparando com controlador proporcional (erro de 10%):

xxxxxxxxxx
>> figure; step(ftmf_k3, ftmf_i1, ftmf_i2)
>> legend('Kp (erro 10%)', 'I_1 (sem overshoot)', 'I_2 (com overshoot)')

Note:

• O último controlador proporcional proposto, apesar de bastante oscilatório, ainda é mais rápido que estes integradores puros.

• E aqui está um detalhe: normalmente não se usa Controlador que seja um Integrador Puro, justamente porque apesar de zerar o erro de regime permanente, ocorre um grande atraso na resposta. Motivo pelo qual se usa açao integral combinada (em paralelo) com ação integral, o famoso "PI" ou seja: P $+$$+$ I. Testaremos este controlador na próxima aula.

Encerrando Seção de Trabalho

Como vamos continuar avaliando outros controladores para esta mesma planta, vamos armazeanar os valores obtidos para facilitar a continuação e comparação de resultados para as próximas aulas.

xxxxxxxxxx
>> save planta % salva variáveis (workspace) atual (mas não as figuras)
>> diary off % encerra o dump file
>> quit % sai do Matlab

Aquivo > planta.mat.

Próxima aula: 14/05/2026.

Fernando Passold, em 07/05/2026