Cascateando 2 x RC's

Objetivo: não podemos simplesmente multiplicar funções de transferência de blocos em cascata se os blocos carregam uns aos outros.

1. Circuitos cascateados

Dois circuitos RC diretamente em cascata, ficam como:

xxxxxxxxxx
             R1    V1        R2    V2
Vin ───────/\/\/───●───────/\/\/───●──── Vout
                   │               │
                  === C1          === C2
                   │               │
                  GND             GND

É tentador declarar simplemente que:

$H_1(s)={\displaystyle \frac{1}{R_1{C}_{1}s+1}}$$H_1(s)=\dfrac{1}{R_1C_1s+1}$

$H_2(s)={\displaystyle \frac{1}{R_2{C}_{2}s+1}}$$H_2(s)=\dfrac{1}{R_2C_2s+1}$

e então:

$H(s)=H_1(s)\cdot H_2(s)$$H(s)=H_1(s) \cdot H_2(s)$

Mas isso está errado em geral.

O motivo é que o segundo circuito RC atua como uma impedância de carga finita ao primeiro cicuito RC. O capacitor $C_2$$C_2$ e o resistor $R_2$$R_2$ passam a constituir uma carga para o primeiro estágio.

Note: A função de transferência de um bloco depende das condições sob as quais ele está conectado.

2. Função transferência completa

Podemos levantar a função de transferência completa

Para dois RC's, faz-se primeiro a análise diretamente por impedâncias ou por análise nodal.

Definimos $V_1(s)$$V_1(s)$, no ponto entre os dois filtros e:

$V_2(s)=V_{out}(s)$$V_2(s)=V_{out}(s)$

Para o segundo estágio:

${\displaystyle \frac{(V_1-V_2)}{R_2}}=s(C_2{V}_2)$$\dfrac{(V_1-V_2)}{R_2} = s(C_2V_2)$

Portanto:

$(V_1-V_2)=R_{2}s(C_2{V}_2)$$(V_1-V_2) = R_2 s (C_2V_2)$

e então:

$\boxed{{\displaystyle V_1=(1+s{R}_2{C}_2)V_2}}$$\boxed{ V_1= \left( 1+sR_2C_2 \right) V_2 }$

No primeiro nó:

${\displaystyle \frac{V_{in}-V_1}{R_1}}={\displaystyle \frac{V_1-V_2}{R_2}}+s{C}_1{V}_1$$\dfrac{V_{in}-V_1}{R_1} = \dfrac{V_1-V_2}{R_2} +sC_1V_1$

A partir daí podemos eliminar $V_1$$V_1$ e obter:

${\displaystyle \frac{V_{out}}{V_{in}}}$$\dfrac{V_{out}}{V_{in}}$

O resultado geral é:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{1}{1+s(R_1{C}_1+R_1{C}_2+R_2{C}_2)+s^2\left(R_1{R}_2{C}_1{C}_2\right)}}}$$\boxed{ H(s)= \frac{1}{ 1+s \left( R_1 C_1 + R_1 C_2 + R_2 C_2 \right) +s^2 \left( R_1 R_2 C_1 C_2 \right) } }$

Perceba algo (muito) interessante:

$H(s)\ne {\displaystyle \frac{1}{(1+s{R}_1{C}_1)(1+s{R}_2{C}_2)}}$$H(s) \neq \dfrac{1} { \left( 1 + sR_1C_1 \right) \left(1 + sR_2C_2 \right) }$

Note que o denominador da expressão correta contém o termo adicional:

$\boxed{{\displaystyle s{R}_1{C}_2}}$$\boxed{s R_1C_2}$

Esse termo é justamente o resultado da interação entre os estágios.

3. Caso de $R_1=R_2$$R_1 = R_2$ e $C_1=C_2$$C_1 = C_2$

O que ocorre se os 2 circuitos RC são iguais?

Suponha:

$R_1=R_2=1k\mathrm{\Omega }$$R_1=R_2=1k\Omega$

$C_1=C_2=1\mu F$$C_1=C_2=1\mu F$

Neste caso:

$R_1{C}_1=R_1{C}_2=R_2{C}_2=1ms$$R_1C_1=R_1C_2=R_2C_2=1ms$

e:

$R_1{R}_2{C}_1{C}_2={10}^{-6}$$R_1R_2C_1C_2=10^{-6}$

Assim:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{1}{1+0,003s+{10}^{-6}{s}^2}}}$$\boxed{ H(s)= \frac{1} {1+0,003s+10^{-6}s^2} } \qquad$(1)

Ou:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{{10}^6}{s^2+3000s+{10}^6}}}$$\boxed{ H(s)= \frac{10^6} {s^2+3000s+10^6} }$

Isso já é um sistema de segunda ordem.

$\boxed{{\displaystyle \text{RC de 1ª ordem}}}⟶\boxed{{\displaystyle \text{dois RC acoplados = sistema de 2ª ordem}}}$$\boxed{\text{RC de 1ª ordem}} \quad\longrightarrow\quad \boxed{\text{dois RC acoplados = sistema de 2ª ordem}}$

4. Erros de Dedução...

Compararando com a multiplicação ingênua da função transferência dos 2 estágios.

Se os dois estágios fossem independentes:

$H_{ingênua}(s)={\displaystyle \frac{1}{(1+sRC{)}^2}}$$H_{ingênua}(s) = \dfrac{1}{(1+sRC)^2}$

Para RC = 1ms:

$H_{ingênua}(s)={\displaystyle \frac{1}{1+0,002s+{10}^{-6}{s}^2}}$$H_{ingênua}(s) = \dfrac{1}{1+0,002s+10^{-6}s^2}$

Mas... os circuitos RCs estão diretamente conectados (eq. (1)):

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{1}{1+0,003s+{10}^{-6}{s}^2}}}$$\boxed{ H(s)= \frac{1} {1+0,003s+10^{-6}s^2} }$

A multiplicação simples das duas funções individuais levaria à:

$\boxed{{\displaystyle H(s{)}_{ingênua}=\frac{1}{1+0,002s+{10}^{-6}{s}^2}}}$$\boxed{ H(s)_{ingênua}= \frac{1} {1+0,002s+10^{-6}s^2} } \qquad$(2)

Não são iguais.

Problema: Simular no Octave o comportamento das 2 funções transferências para confirmar o coportamento diferente. Isto pode ser feito traçando o diagrama de Bode (resposta em frequência das duas funções transferência) e/ou comparando as respostas para a entrada degrau para as 2 funções transferência. O resultado é apresentado no próximo item: 6. Comparando Funções usando Octave.

5. Acrescentando um "Buffer Isolador"

Aqui entra o uso do amplificador operacional.

No item Circuito RC com carga > O que muda com o acréscimo de buffer isolador? foi introduzido algo sobre Amplificadores Operacionais.

Acrescentamos um amplificador operacional na cofiguração "seguidor de tensão" (ou voltage follower) entre os dois filtros:

Antes:

xxxxxxxxxx
             R1    V1        R2    V2
Vin ───────/\/\/───●───────/\/\/───●──── Vout
                   │               │
                  === C1          === C2
                   │               │
                  GND             GND

Agora:

xxxxxxxxxx
                        | \
            R1    V1    |  \         R2    V2
Vin ──────/\/\/───●─────| 1 >──────/\/\/───●──── Vout
                  |     |  /               │
                  |     | /                |
                  |    Buffer              |
                  |   Isolador            === C2
                  │                        |
                 === C1                    |
                  │                        |
                  │                        |                      
                 GND                      GND

Note que seria algo como:

Idealmente:

$V_2=V_1$$V_2=V_1$

mas:

$i_{entrada,AmpOp}=0$$i_{entrada,AmpOp}=0$

Portanto o segundo ciruito RC não "carrega" o primeiro.

Agora sim podemos multiplicar as funções de transferência...

O primeiro estágio:

$H_1(s)={\displaystyle \frac{1}{1+s{R}_1{C}_1}}$$H_1(s)= \dfrac{1}{1+sR_1C_1}$

O segundo:

$H_2(s)={\displaystyle \frac{1}{1+s{R}_2{C}_2}}$$H_2(s)= \dfrac{1}{1+sR_2C_2}$

O buffer possui a seguinte função transferência:

$H_{buf}(s)=1$$H_{buf}(s)=1$

Então:

$H(s)=H_1(s)\cdot H_{buf}(s)\cdot H_2(s)$$H(s)=H_1(s) \cdot H_{buf}(s) \cdot H_2(s)$

e agora sim teremos:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{1}{(1+s{R}_1{C}_1)(1+s{R}_2{C}_2)}}}$$\boxed{ H(s)= \frac{1}{(1+sR_1C_1)(1+sR_2C_2)} }$

Agora a simples multiplicação dos blocos ocorreu (e está correta).

⚠️ Note como pode ser importante, o isolamento entre estágios.

6. Comparando Funções usando Octave

Podemos comparar os dois casos no Octave

Simulando Entrada Degrau

xxxxxxxxxx
pkg load control

s = tf('s');

R1 = 1e3;
C1 = 1e-6;

R2 = 1e3;
C2 = 1e-6;

% Dois RC diretamente conectados
H_casc = 1 / ...
    (1 + s*(R1*C1 + R1*C2 + R2*C2) ...
    + s^2*R1*R2*C1*C2);

% Dois RC isolados por buffer
H_buffer = 1 / ...
    ((1 + s*R1*C1)*(1 + s*R2*C2));
Depois:

figure;
step(H_casc, H_buffer);

grid on;
legend('Cascata de RC sem buffer', ...
       'Cascata de RC com buffer', ...
       'location', 'southeast');
       
title('Respostas ao degrau');

Os seguinte gráfico deve ter sido obtido:

Resposta Frequencial

Continuamos com:

xxxxxxxxxx
figure;
bode(H_casc);
hold on;
bode(H_buffer);

grid on;
legend('Sem buffer', 'Com buffer');

Mais 2 gráficos devem ser obtidos:

Isso permite mostrar que dois circuitos que parecem quase iguais, podem possuir funções de transferência completamente diferentes se não for considerado um isolador estre os 2 estágios.

Simulando entrada Senoidal

E podemos usar a função lsim() para simular a senoide. Continuamos o código anterior com:

xxxxxxxxxx
f = 100;
Vm = 5;

t = 0:1e-5:0.2;

Vin = Vm*sin(2*pi*f*t);

[Vout1, t] = lsim(H_casc, Vin, t);
[Vout2, t] = lsim(H_buffer, Vin, t);

plot(t, Vin);
hold on;
plot(t, Vout1);
plot(t, Vout2);

grid on;

legend('Vin', ...
       'Cascata sem buffer', ...
       'Cascata com buffer');

xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Tensão (V)');

Deve ter sido obtido o gráfico:

A diferença de amplitude e fase entre os dois casos deve ter ficado bastante visível.

7. Resumo

Note o que fizemos por aqui:

1. Testado circuito RC isolado

   $\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{1}{1+sRC}}}$$\boxed{ H(s)=\frac{1}{1+sRC} }$

   Resposta ao degrau e à senoide.

2. Deduzindo função transferência dois circuito RC's diretamente conectados

   $\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{1}{1+s(R_1{C}_1+R_1{C}_2+R_2{C}_2)+s^2{R}_1{R}_2{C}_1{C}_2}}}$$\boxed{ H(s)= \frac{1} {1+s(R_1C_1+R_1C_2+R_2C_2) +s^2R_1R_2C_1C_2} }$

   Conclusão: “Não se pode simplesmente multiplicar as duas funções de transferência.”

3. Deduzindo função transferência com o buffer isolador

   RC → OPAMP → RC

   Desta vez:

   $\boxed{{\displaystyle H(s)=H_1\cdot H_2}}$$\boxed{ H(s)=H_1 \cdot H_2 }$

4. Realizando comparações:

   $\boxed{{\displaystyle \text{sem buffer}\ne \text{com buffer}}}$$\boxed{ \text{sem buffer} \quad\neq\quad \text{com buffer} }$

   • Resposta ao degrau

     step(H)

   • Resposta senoidal

     lsim(H,Vin,t)

   • Experimento 7: Resposta em frequência

     bode(H)

Conclusões Finais

• Funções de transferência podem ser multiplicadas diretamente quando os blocos estão adequadamente desacoplados.
• O =seguidor de tensão (ou buffer isolador) é justamente o elemento físico que torna essa hipótese razoável.

Fernando Passold, em 12/08/2026