Circuito RC com Carga

Novo problema

Considere agora:

xxxxxxxxxx
                R
Vin ──────────/\/\/───●────────●───── Vout
                      │        |
                     === C     RL  <-- (Instrumento medidor!?)
                      |        |
                     GND      GND

Ou seja, temos um resistor de carga $R_L$$R_L$ em paralelo com o capacitor.

1. O que muda?

Note: Muda tanto o ganho em regime permanente quanto a constante de tempo.

O capacitor continua ligado ao terra, mas agora ele não está sozinho: existe $R_L$$R_L$ também conectado ao nó de saída.

A resistência vista pelo capacitor é:

$R_p=R\parallel R_L$$R_p = R \parallel R_L$

portanto:

$\boxed{{\displaystyle R_p=\frac{R\cdot R_L}{R+R_L}}}$$\boxed{ R_p=\frac{R \cdot R_L}{R + R_L} }$

e a constante de tempo passa a ser:

$\boxed{{\displaystyle \tau =(R\parallel R_L)C}}$$\boxed{ \tau= \left( R \parallel R_L \right) C }$

Mas há uma segunda consequência importante: em DC, o capacitor se comporta como circuito aberto. Portanto sobra simplesmente um divisor resistivo:

xxxxxxxxxx
         R     Vout      RL
Vin ───/\/\/─────●────/\/\/────+
                               |
                              GND

Assim:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(\mathrm{\infty })=V_{in}\frac{R_L}{R+R_L}}}$$\boxed{ V_{out}(\infty) = V_{in}\frac{R_L}{R+R_L} }$

Portanto uma carga menor (mais baixa resistência), o que reduz a tensão final.

2. Função transferência completa

Podemos deduzir a função transferêncoa via impedâncias.

A impedância do capacitor é:

$Z_C={\displaystyle \frac{1}{sC}}$$Z_C=\dfrac{1}{sC}$

Como $C$$C$ está em paralelo com $R_L$$R_L$:

$Z_p=R_L\parallel {\displaystyle \frac{1}{sC}}$$Z_p=R_L \parallel \dfrac{1}{sC}$

Logo:

$Z_p={\displaystyle \frac{R_L{\displaystyle \frac{1}{sC}}}{R_L+{\displaystyle \frac{1}{sC}}}}$$Z_p= \dfrac{R_L\dfrac{1}{sC}} {R_L+\dfrac{1}{sC}}$

Multiplicando numerador e denominador por $sC$$sC$:

$\boxed{{\displaystyle Z_p=\frac{R_L}{1+s{R}_{L}C}}}$$\boxed{ Z_p=\frac{R_L}{1+sR_LC} }$

Agora temos simplesmente um divisor de tensão:

$V_{out}=V_{in}\left({\displaystyle \frac{Z_p}{R+Z_p}}\right)$$V_{out}=V_{in} \left( \dfrac{Z_p}{R+Z_p} \right)$

Assim:

$H(s)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{R_L}{1+s{R}_{L}C}}}{R+{\displaystyle \frac{R_L}{1+s{R}_{L}C}}}}$$H(s)= \dfrac{\dfrac{R_L}{1+sR_LC}} {R+\dfrac{R_L}{1+sR_LC}}$

Multiplicando numerador e denominador por $1+s{R}_{L}C$$1+s R_L C$:

$H(s)={\displaystyle \frac{R_L}{R(1+s{R}_{L}C)+R_L}}$$H(s)= \dfrac{R_L} {R(1+sR_LC)+R_L}$

Expandindo:

$H(s)={\displaystyle \frac{R_L}{R+R_L+sR{R}_{L}C}}$$H(s)= \dfrac{R_L}{R+R_L+sRR_LC}$

Assim a nova função transferência fica:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{R_L}{R+R_L+sR{R}_{L}C}}}$$\boxed{ H(s)= \frac{R_L}{R+R_L+sRR_LC} }$

Podemos colocar na forma padrão:

$\boxed{{\displaystyle H(s)={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{R_L}{R+R_L}}\right)}{1+s\left({\displaystyle \frac{R{R}_{L}C}{R+R_L}}\right)}}}}$$\boxed{ H(s)= \dfrac{\left( \dfrac{R_L}{R+R_L} \right)}{1+s \left( \dfrac{R\,R_LC}{R+R_L} \right)} }$

Como:

$R\parallel R_L={\displaystyle \frac{R{R}_L}{R+R_L}}$$R \parallel R_L = \dfrac{R\,R_L}{R+R_L}$

temos:

$\boxed{{\displaystyle H(s)=\left(\frac{R_L}{R+R_L}\right)\frac{1}{1+s(R\parallel R_L)C}}}$$\boxed{ H(s)= \left( \frac{R_L}{R+R_L} \right) \frac{1}{1+s(R\parallel R_L)C} }$

Essa expressão é significativa.

porque separa claramente duas coisas:

• Novo ganho DC:

  $\boxed{{\displaystyle K=\frac{R_L}{R+R_L}}}$$\boxed{ K=\frac{R_L}{R+R_L} }$

• Nova Constante de tempo:

  $\boxed{{\displaystyle \tau =(R\parallel R_L)C}}$$\boxed{ \tau=(R\parallel R_L)C }$

3. Comparando com o circuito SEM carga

Se:

$R_L\to \mathrm{\infty }$$R_L \rightarrow \infty$

então:

$R\parallel R_L\to R$$R\parallel R_L\rightarrow R$

e então:

${\displaystyle \frac{R_L}{R+R_L}}\to 1$$\dfrac{R_L}{R+R_L} \rightarrow 1$

Portanto:

$H(s)\to {\displaystyle \frac{1}{1+sRC}}$$H(s)\rightarrow\dfrac{1}{1+sRC}$

que é exatamente a mesma função do nosso circuito RC original (lembrar em: Obtendo função transferência do circuito).

IMPORTANTE: Notamos que o circuito RC ideal que analisamos inicialmente pressupunha uma carga infinita, ou seja, que nada estava consumindo corrente da saída.

4. Variando a Carga (com valores)

Considere fixos: $R=1k\mathrm{\Omega }$$R=1k\Omega$, $C=1\mu$$C=1\mu$F, e uma entrada de: $V_{in}=$$V_{in}=$5V.

Caso 1: Sem carga significativa

Suponha:

$R_L=1M\mathrm{\Omega }$$R_L=1M\Omega \qquad$ (num equipamento de medição "decente", $R_L>$$R_L >$ 20 M$\mathrm{\Omega }$$\Omega$ )

Então:

$R\parallel R_L\approx 999\mathrm{\Omega }$$R\parallel R_L\approx999\Omega$

e:

$\tau \approx 999\mu s$$\tau\approx999\mu s$

A tensão final será:

$V_{out}(\mathrm{\infty })=5\left({\displaystyle \frac{1M}{1k+1M}}\right)$$V_{out}(\infty) = 5 \left( \dfrac{1M}{1k+1M} \right)$

aproximadamente:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}\approx 4,995V}}$$\boxed{V_{out}\approx4,995V}$

Praticamente os 5 V.

Caso 2: $R_L=10k\mathrm{\Omega }$$R_L=10k\Omega$

Agora:

$R\parallel R_L=1k\parallel 10k$$R\parallel R_L = 1k\parallel10k$

$R_p\approx 909\mathrm{\Omega }$$R_p\approx909\Omega$

Logo:

$\tau \approx 909\mu s$$\tau\approx909\mu s$

Mas a tensão final será:

$V_{out}(\mathrm{\infty })=5\left({\displaystyle \frac{10k}{1k+10k}}\right)$$V_{out}(\infty) = 5 \left( \dfrac{10k}{1k+10k} \right)$

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(\mathrm{\infty })\approx 4,545V}}$$\boxed{V_{out}(\infty)\approx4,545V}$

Caso 3: $R_L=1k\mathrm{\Omega }$$R_L=1k\Omega$

Agora $R_L=R$$R_L = R$, formando um divisor de tensão à nível DC no circuito.

$R\parallel R_L=500\mathrm{\Omega }$$R\parallel R_L=500\Omega$

portanto:

$\boxed{{\displaystyle \tau =500\mu s}}$$\boxed{\tau=500\mu s}$

e:

$V_{out}(\mathrm{\infty })=5\frac{1k}{1k+1k}$$V_{out}(\infty) = 5\frac{1k}{1k+1k}$

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(\mathrm{\infty })=2,5V}}$$\boxed{V_{out}(\infty)=2,5V}$

Conclusão final: O valor de $R_L$$R_L$ importa!

5. Resposta ao Degrau

Para um degrau:

$V_{in}(t)=V_0\cdot u(t)$$V_{in}(t)=V_0 \cdot u(t)$

temos (genericamente):

$H(s)={\displaystyle \frac{K}{1+s\tau }}$$H(s)= \dfrac{K}{1+s\tau}$

onde:

$K={\displaystyle \frac{R_L}{R+R_L}}$$K=\dfrac{R_L}{R+R_L}$

e:

$\tau =(R\parallel R_L)C$$\tau=(R\parallel R_L) \, C$

assim:

$V_{out}(s)=\left({\displaystyle \frac{K}{1+s\tau }}\right)\left({\displaystyle \frac{V_0}{s}}\right)$$V_{out}(s) = \left( \dfrac{K}{1+s\tau} \right) \left( \dfrac{V_0}{s} \right)$

e a resposta (genérica) será:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=K\cdot V_0(1-e^{-t/\tau })}}$$\boxed{ V_{out}(t)= K \cdot V_0 \left( 1-e^{-t\big/\tau} \right) }$

ou especificamente:

$\boxed{{\displaystyle V_{out}(t)=V_0\left(\frac{R_L}{R+R_L}\right)[1-e^{-t/((R\parallel R_L)C)}]}}$$\boxed{ V_{out}(t)= V_0 \left( \frac{R_L}{R+R_L} \right) \left[ 1-e^{-t\Big/\left( (R\parallel R_L) \, C \right)} \right] }$

Isso permite mostrar duas mudanças simultâneas:

1. a tensão final diminui;
2. a constante de tempo também diminui.

Ou seja, a carga resistiva não apenas reduz o ganho — ela também modifica a dinâmica do sistema.

6. Simulando Degrau no Octave

Podemos simular o comportamento do circuito para os 3 valores de carga que estamos considerando:

$R_L=[1M\mathrm{\Omega },10K\mathrm{\Omega },1K\mathrm{\Omega }]$$R_L = [1M\Omega, \, 10K\Omega, \, 1K\Omega]$

e ver o que acontece.

xxxxxxxxxx
% circuito_RC_cargas.m
% Circuito RC pasa-baixa
% Variando carga e aplicanco degrau

pkg load control

s = tf('s');

R = 1e3;
C = 1e-6;

RL1 = 1e6;
RL2 = 10e3;
RL3 = 1e3;

H1 = RL1 / (R + RL1 + s*R*RL1*C);
H2 = RL2 / (R + RL2 + s*R*RL2*C);
H3 = RL3 / (R + RL3 + s*R*RL3*C);

figure;

step(5*H1, 5*H2, 5*H3, 0.005);
% hold on;
% step(5*H2, 0.005);
% step(5*H3, 0.005);

grid on;

legend('RL = 1 Mohm', ...
       'RL = 10 kohm', ...
       'RL = 1 kohm', ...
       'location', 'southeast');

xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Vout (V)');

title('Efeito da carga resistiva na resposta ao degrau');

O gráfico gerado mostra claramente as três situações:

7. Simulando entrada senoidal

Podemos fazer exatamente o mesmo teste com uma senoide.

E aqui lsim() torna este teste interessante.

Por exemplo:

$V_{in}=5\sin \left(2\pi 100t\right)$$V_{in}=5\sin(2\pi100t)$

ou seja, colocando uma senoide de 100 Hz na entrada do circuito:

xxxxxxxxxx
% circuito_RC_cargas_seno.m
% Circuito RC pasa-baixa
% Variando carga e aplicanco senoide 100 Hz na entrada

f = 100;
Vm = 5;

T = 1/f;
t_fim = 2.5*T;
t = 0:1e-5:t_fim;

Vin = Vm*sin(2*pi*f*t);

[Vout1, t] = lsim(H1, Vin, t);
[Vout2, t] = lsim(H2, Vin, t);
[Vout3, t] = lsim(H3, Vin, t);

figure;
plot(t,Vin, t, Vout1, t, Vout2, t, Vout3, 'LineWidth', 1.5);

grid on;

xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Tensão (V)');

legend('Vin', ...
       'RL = 1 Mohm', ...
       'RL = 10 kohm', ...
       'RL = 1 kohm', ...
       'location', 'southeast');

xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Vout (V)');

title('Efeito da carga resistiva na resposta senoidal');

Deve ter sido gerado um gráfico como:

Note a combinação de:

• atenuação;
• alteração da fase;
• alteração da constante de tempo.

8. O que muda com o acréscimo de buffer isolador?

Modelo ideal:

xxxxxxxxxx
               R
Vin ───/\/\/───●───── Vout
               │
              === C
               |
              GND

“Vamos medir Vout.”

O que accontece:

xxxxxxxxxx
                 R
Vin ──────────/\/\/───●────────●───── Vout
                      │        |
                     === C     RL (Instrumento medição)
                      |        |
                     GND      GND

Questão:

— “O que acontece se o instrumento conectado à saída tiver uma resistência de entrada finita e eventualmente baixa?”

A resposta é: o instrumento vira $R_L$$R_L$.

Foi comprovado anteriormente que:

$R_L\downarrow \Rightarrow V_{out}\downarrow$$R_L\downarrow \quad\Rightarrow\quad V_{out}\downarrow$

e também:

$R_L\downarrow \Rightarrow \tau \downarrow$$R_L\downarrow \quad\Rightarrow\quad \tau\downarrow$

E se intercalamos um "buffer isolador" entre a saída do circuito RC e nosso instrumento?

Obs.: um "buffer isolador" é um circuito com amplificador operacional na configuração não inversora, ganho unitário, que atua como um simples "seguidor de tensão", mas com uma característica muito desejável neste caso: impedância de entrada muito alta ($>100M\mathrm{\Omega }\approx \mathrm{\infty }$$> 100 M\Omega \approx \infty$).

Símbolo do Amplificador Operacional e pastilha de exemplo: uA 741:

Para saber mais sobre Amp.Op.:

• Learn Channel TV > Op. Amp.;
• Mecatrônica Latam > Anplificador Operacional;
• Electronics Tutorials > Op.Amp..

No nosso caso nosso circuito RC ficará como:

xxxxxxxxxx
                            | \
            R      Vout1    |  \        
Vin ──────/\/\/───●─────────| 1 >──────●──── Vout
                  |         |  /       |
                  |         | /        |
                  |        Buffer      |
                  |       Isolador     RL (o próprio medidor)
                  │                    |
                 === C                 |
                  │                    |
                  │                    |                      
                 GND                  GND

O op-amp ideal possui:

$R_{in}\to \mathrm{\infty }$$R_{in} \rightarrow \infty$

e:

$R_{out}\to 0$$R_{out} \rightarrow 0$

Portanto ele praticamente impede que a carga do segundo estágio (o próprio instrumento medidor) seja refletida sobre o primeiro.

Note: Se abrem novas possibilidades de análise/modelagem com base no simples circuito RC inicial:

Fernando Passold, em 12/08/2026