TDE 2: Respostas Temporais de Sistemas Lineares

Questão 1: sobre pólos dominantes (sistemas apenas com pólos reais simples).

Para os diferentes itens abaixo, justifique se as aproximações sugeridas são plausíveis ou não. Para tanto, para mostre o gráfico dos pólos e zeros de cada função transferência e num outro gráfico apresente 2 curvas de resposta ao degrau (unitário): uma do sistema completo e outra do sistema aproximado (este gráfico deve ser acompanhado de legenda). Use estes gráficos para fundamentar sua resposta.

a) $H_1(s)={\displaystyle \frac{0,1}{(s+0,1)(s+1)}}\approx H_2(s)={\displaystyle \frac{0,1}{(s+0,1)}}?$$H_1(s)=\dfrac{0,1}{(s+0,1)(s+1)} \approx H_2(s)=\dfrac{0,1}{(s+0,1)} \quad ?$

b) $H_3(s)={\displaystyle \frac{4}{(s+1)(s+4)}}\approx H_4(s)={\displaystyle \frac{4}{(s+4)}}?$$H_3(s)=\dfrac{4}{(s+1)(s+4)} \approx H_4(s)=\dfrac{4}{(s+4)} \quad ?$

c) $H_5(s)={\displaystyle \frac{12}{(s+3)(s+4)}}\approx H_6(s)={\displaystyle \frac{3}{(s+3)}}?$$H_5(s)=\dfrac{12}{(s+3)(s+4)} \approx H_6(s)=\dfrac{3}{(s+3)} \quad ?$

Note: os sistemas de segunda ordema acima, seguem a equação genérica:

$H(s)={\displaystyle \frac{\alpha \cdot \beta }{(s+\alpha )(s+\beta )}}$$H(s)=\dfrac{\alpha \cdot \beta}{(s+\alpha)(s+\beta)}$

Sua saída para uma entrada degrau é calculada através de:

$y(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{U(s)\cdot H(s)\}$$y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{ U(s) \cdot H(s) \right\}$

onde $U(s)=$$U(s)=$ transformada de Laplace da entrada Degrau. A transformada de Laplace rende algo como:

$y(t)=1-{\displaystyle \frac{\beta e^{-\alpha t}-\alpha e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}$$y(t)=1 - \dfrac{\beta e^{-\alpha t} - \alpha e^{-\beta t}}{\beta - \alpha}$

Aplicando o limite sobre a equação anterior, quando $t\to \mathrm{\infty }$$t \to \infty$, resulta em:

$y(\mathrm{\infty })=y(t){|}_{t\to \mathrm{\infty }}=\alpha \cdot \beta$$y(\infty)=y(t)\vert_{t \to \infty} = \alpha \cdot \beta$

Dica: Se esperam gráficos como:

Dica: Teoria, códigos Octave → Revisar Exercícios sobre Pólos Dominantes.

Obs.: as conclusões ficam por parte do estudante (fazem parte da conclusão/comentário esperado para cada item).

Questão 2: Ainda sobre pólos dominantes mas agora para sistemas de ordem superior e evenutalmente pólos complexos.

Para os diferentes itens abaixo, justifique se as aproximações sugeridas são plausíveis ou não. Para tanto, para mostre o gráfico dos pólos e zeros de cada função transferência e num outro gráfico apresente 2 curvas de resposta ao degrau (unitário): uma do sistema completo e outra do sistema aproximado (este gráfico deve ser acompanhado de legenda). Use estes gráficos para fundamentar sua resposta. Sugere-se re-escrever as funções transferência originais num formato onde seja possível reconhecer facilemente a posição de seus pólos.

a) $H_7(s)={\displaystyle \frac{544}{s^3+12s^2+100s+544}}\approx H_8(s)={\displaystyle \frac{68}{s^2+4s+68}}?$$H_7(s)=\dfrac{544}{s^3+12s^2+100s+544} \approx H_8(s)=\dfrac{68}{s^2 + 4 s + 68} \quad ?$

b) $H_9(s)={\displaystyle \frac{256}{s^3+18s^2+160s+256}}\approx H_{10}(s)={\displaystyle \frac{128}{s^2+16s+128}}?$$H_9(s)=\dfrac{256}{s^3 + 18 s^2 + 160 s + 256} \approx H_{10}(s)=\dfrac{128}{s^2 + 16 s + 128} \quad ?$

c) $H_{11}(s)={\displaystyle \frac{400}{s^3+13s^2+120s+400}}\approx H_{12}(s)={\displaystyle \frac{80}{s^2+8s+80}}?$$H_{11}(s)=\dfrac{400}{s^3 + 13 s^2 + 120 s + 400} \approx H_{12}(s)=\dfrac{80}{s^2 + 8 s + 80} \quad ?$

Observação: Note que os sistemas acima seguem uma equação genérica como:

$H(s)={\displaystyle \frac{\alpha \cdot {\omega }_0^2}{(s+\alpha )(s^2+2\zeta {\omega }_{0}s+{\omega }_0^2)}}$$H(s)=\dfrac{\alpha \cdot \omega_0^2}{(s+\alpha)(s^2+2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2)}$.

Deadline: 29/09/2026 – enviar PDF por email para fpassold@upf.br.

Avaliação: todos os sub-itens possuem o mesmo peso do ponto de vista da avalição ($1/6$$1/6$).

Fernando Passold, 11/09/2026.