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Respostas Temporais de Sistemas Lineares

Relações plano-s vs respostas ao degrau

Aula de 08/09/2026

Objetivos:

• Relação entre posição dos pólos no plano-s vs resposta temporal;
• Conceito de pólo(s) dominante(s).

Simulando alguns sistemas...

1. Supondo que se queira simular o mapa com localização dos pólos e zeros no plano-s e resposta ao degrau de um sistema de 2a-ordem:

$G(s)={\displaystyle \frac{9}{s^2+2s+9}}$$G(s)=\dfrac{9}{s^2+2s+9}$

Este sistema segue a forma genérica:

$G(s)={\displaystyle \frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}$$G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

Note que nesta expressão os termos em $s^0$$s^0$ tanto no numerador quanto denominador de $H(s)$$H(s)$ são os mesmos (${\omega }_n^2$$\omega_n^2$). Quando isto ocorre, podemos garantir que a resposta à uma entrada degrau unitário neste sitema vai tender à $y(t){|}_{t\to \mathrm{\infty }}=1$$y(t)\vert_{t \to \infty}=1$. Este valor final também é chamado como ganho DC (ou ganho estático) de uma planta ou sistema.

Podemo calcular o valor fina de saída de um sistema em regime permanente. aplicando $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)$$\lim_{t \to \infty} y(t)$, ou mais fácil, usando o Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace que diz que:

$y(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)=\underset{s\to 0}{lim}s\cdot Y(s)$$y(\infty)=\lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{s \to 0} s\cdot Y(s)$,

onde neste caso, $Y(s)=$$Y(s)=$ resposta ao degrau para este sistema, ou seja:

$Y(s)=U(s)\cdot H(s)$$Y(s)=U(s) \cdot H(s)$

($U(s)=$$U(s)=$ transformada de Laplace da entrada degrau, neste caso: $U(s)=1/s$$U(s)=1/s$)

O que implica:

$y(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)=\underset{s\to 0}{lim}s\cdot Y(s)=\underset{s\to 0}{lim}s\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{s}}\right)\left({\displaystyle \frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}\right)$$y(\infty)=\lim_{t \to \infty} y(t)=\lim_{s \to 0} s\cdot Y(s)=\lim_{s \to 0}\; s \cdot \left(\dfrac{1}{s}\right)\left( \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \right)$,

E resulta em:

$y(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{lim}\cancel{s}\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{\cancel{s}}}\right)\left({\displaystyle \frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}\right)=\underset{s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}={\displaystyle \frac{{\omega }_n^2}{{\omega }_n^2}}=1$$y(\infty)=\lim_{s \to 0}\; \cancel{s} \cdot \left(\dfrac{1}{\cancel{s}}\right)\left( \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \right)=\lim_{s \to 0} \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}=\dfrac{\omega_n^2}{\omega_n^2}=1$

ou, resumindo, uma saída que tende para 1 em regime permanente (para entrada degrau unitário).

Voltando ao sistema sob interesse:

$G(s)={\displaystyle \frac{9}{s^2+2s+9}}$$G(s)=\dfrac{9}{s^2+2s+9}$

Realizando os comandos no Octave/Matlab:

>> G=tf(9,[1 2 9])
/bin/perl5.30: bad interpreter: No such file or directory
error: 'tf' undefined near line 1, column 3
>> pkg load control    % Ops... foi esquecido de carregar pacote control
>> G=tf(9,[1 2 9])

Transfer function 'G' from input 'u1' to output ...

            9
 y1:  -------------
      s^2 + 2 s + 9

Continuous-time model.
>> zpk(G)

Transfer function 'ans' from input 'u1' to output ...

            9
 y1:  -------------
      s^2 + 2 s + 9

Continuous-time model.
>> pole(G)
ans =

  -1.0000 + 2.8284i
  -1.0000 - 2.8284i

>>

Note o par de pólos complexos conjugados: $s=-1\pm j2,8282$$s=-1 \pm j2,8282$.

Obtendo o mapeamento de pólos e zeros (que não existem neste caso) no plano-s e obtendo siua resposta ao degrau:

>> pzmap(G)
>> xlim([-2 0.5])    % força mostrar o eixo jw
>> legend off
>> legend('G(s)', 'Location', 'southeast'); % forçando legenda numa rewgião mais propícia no gráfico
>> figure; step(G)

Podemos obter mais informações sobre a resposta ao degrau aplicando o comando stepinfo():

>> stepinfo(G)
ans =

  scalar structure containing the fields:

    RaiseTime = [](0x0)
    RiseTime = 0.4626
    TransientTime = 3.7007
    SettlingTime = 3.7007H
    SettlingMin = 0.8918
    SettlingMax = 1.3291
    Overshoot = 32.915
    Undershoot = 0
    Peak = 1.3291
    PeakTime = 1.1000
    StaticGain = 1
    InitialJump = 0

>> 

Pólos Dominantes

Objetivo geral: a idéia agora é enteder a predominância de certos pólos na resposta temporal de um sistema.

A idéia é começar uma associação mental/visual entre pólos no plano-e e suas respostas temporais, para ao final compreender porque certos pólos podem ser "negligenciados" na resposta de um sistema.

Exemplo 1

Vamos verificar o que ocorre quando:

• Montamos um sistema de 2a-ordem com pólos complexos em $s=-1\pm j4$$s=-1\pm j4$, e ganho DC unitário.
• Transformamos o sistema anterior, num sistema de 3a-ordem, acrescentando um pólo real em $s=-8$$s=-8$, e mantendo ganho DC unitário.
• Averiguando que pólos dominam na resposta do sistema completo (de 3a-ordem).

Para tanto, no Octave/Matlab fazemos:

>> clear        % recomeçando tudo do zero
>> close all    % fechando janelas gráficas
>> polos_2a=[-1+4i, -1-4i]
polos_2a =

  -1 + 4i  -1 - 4i

>> poli_2a=poly(polos_2a)    % cria polinômio correspondente às raízes informadas
poli_2a =

    1    2   17

>> H2a=tf(17,poli_2a)        % Criando a tf com ganho DC unitário

Transfer function 'H2a' from input 'u1' to output ...

            17
 y1:  --------------
      s^2 + 2 s + 17

Continuous-time model.
>> step(H2a)                             % comprovando a resposta ao degrau
>> h = findobj(gca, "type", "line");     % "handler"" para figura
>> set(h, "linewidth", 1.5);             % muda a espessura após o desenho
>> print("fig1.png", "-dpng", "-r150");  % salva figura com resulução melhor

Temos a figura:

Continuando, agora montamos o sistema de 3a-ordem, acrescentando o pólo real em $s=-8$$s=-8$, e garantido ganho unitário (termo 8*17 no numerador):

>> H3a=tf(8*17,poly([-8, -1+4i, -1-4i]))

Transfer function 'H3a' from input 'u1' to output ...

                 136
 y1:  -------------------------
      s^3 + 10 s^2 + 33 s + 136

Continuous-time model.
>> zpk(H3a)

Transfer function 'ans' from input 'u1' to output ...

                 136
 y1:  -------------------------
      s^3 + 10 s^2 + 33 s + 136

Continuous-time model.
>> pole(H3a)
ans =

  -8 + 0i
  -1 + 4i
  -1 - 4i

>> figure; step(H2a, H3a)
>> xlim([0 6])    % definindo outro "range" para periódo de tempo mostrado
>> legend off     % mudando legenda de lugar
>> legend('H2a(s)', 'H3a','Location', 'southeast')
>> h = findobj(gca, "type", "line");    % encontra o(s) objeto(s) de linha
>> set(h, "linewidth", 1.5);            % aplica nova espessura nas linhas
>> print("fig2.png", "-dpng", "-r150"); % salva imagem

Note que:

• $H3a(s)=$$H3a(s)=$ sistema completo de 3a-ordem com par de pólos complexos conjugados + pólo real;
• $H2a(s)=$$H2a(s)=$ apenas o sistema de 2a-ordem contendo o par de pólos complexoz conjugados.
• Note que as respostas são similares. Neste caso, porque o(s) pólo(s) que domina(m) a resposta são os que estão mais próximos do eixo $j\omega$$j\omega$, neste caso, o par de pólos complexos estão mais próximos do eixo $j\omega$$j \omega$:
• significa que o pólo real em $s=-8$$s=-8$ praticamente não influencia na resposta do sistema (ele não é um pólo dominante).

Obs.: o últumo gráfico foi criado com:

>> figure; subplot(121); pzmap(H3a);
>> legend off; title('plano-s: H3a(s)')
>> subplot(122); pzmap(H2a)
>> legend off; title('plano-s: H2a(s)')
>> xlim([-11 1])    % para mesmo range do gr
>> print("fig2b.png", "-dpng", "-r150");

Exemplo 2

Vamos variar um pouco o sistema anterior, mantendo os par de pólos complexos conjugados ($H2a(s)$$H2a(s)$, mas alterando a posição do pólos real para $s=-1$$s=-1$, fazendo ele coincidir propositalmente com a parte real dos pólos complexos:

Teremos então:

$H_4(s)={\displaystyle \frac{1\cdot 17}{(s+1)(s+1-j4)(s+1+j4)}}={\displaystyle \frac{17}{s^3+3s^2+19s+17}}$$H_4(s)=\dfrac{1 \cdot 17}{(s + 1)(s + 1 -j4)(s + 1 + j4)}=\dfrac{17}{s^3 +3s^2 +19s + 17}$

Vamos ver o que ocorre, levantando os gráficos para entender o que ocorre agora:

>> H4=tf(17,poly([-1, -1-4i, -1+4i]))

Transfer function 'H4' from input 'u1' to output ...

                17
 y1:  -----------------------
      s^3 + 3 s^2 + 19 s + 17

Continuous-time model.
>> pole(H4)
ans =

  -1 + 4i
  -1 - 4i
  -1 + 0i

>> figure; pzmap(H4)
>> xlim([-2 1]) % adequar melhor a região mostrada e incluir eixo jw
>> legend off
>> title('Pole-Zero Map: H4(s)')
>> print("fig3b.png", "-dpng", "-r150");

O mapa dos pólos e zeros no plano-s fica:

Note o "alinhamento" os pólos no mesmo ponto na parte real do plano-s.

Verificando como fica a resposta ao degrau:

>> figure; step(H2a, H4)
>> xlim([0 6])
>> legend off
>> legend('H2a(s)', 'H4(s)','Location', 'southeast')
>> h = findobj(gca, "type", "line");    % encontra o(s) objeto(s) de linha
>> set(h, "linewidth", 1.5);            % aplica a espessura

É gerada uma figura como a mostraba abaixo que corresponde à resposta ao degrau para este outro sistema de 3a-ordem:

Conclusão:

• Desta vez não existem mais pólos dominantes.

Exemplo 3

Agora vamos "mover" mais uma vez o pólo real em relação ao par de pólos complexos conjugados. A idéia e localizar este pólo real bem mais próximo do eixo $j\omega$$j\omega$ em relação aos pólos complexos. Vamos colocar o pólo real em $s=0,1$$s=0,1$:

xxxxxxxxxx
>> H5=tf(17*0.1,poly([-0.1, -1-4i, -1+4i]))

Transfer function 'H5' from input 'u1' to output ...

                  1.7
 y1:  ----------------------------
      s^3 + 2.1 s^2 + 17.2 s + 1.7

Continuous-time model.
>> figure; pzmap(H5)

É gerada a figura:

Vamos ver o que ocorre com a resposta ao degrau deste sistema (sempre comparando com a resposta do sistema de 2a-ordem baseada apenas nos ṕolos complexos):

xxxxxxxxxx
>> figure; step(H2a, H5)
>> xlim([0 60])

Conclusão:

• o pólo que domina a resposta é agora o pólo real em $s=-0,1$$s=-0,1$ (está muito mais próximo do eixo $j\omega$$j\omega$).

Observações Finais

A localização do(s) pólo(s) no plano-s pode fazer uma grande diferença na resposta ao degrau de um sistema, mas geralmente os pólos que não dominam na resposta também possuem um baixao fator de impacto na resposta causado pelo baixo valor do seu "ganho" ou valor do resíduo associado a determinado pólo.

Lembre que:

$y(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{U(s)\cdot H_5(s)\}$$y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{ U(s) \cdot H_5(s)\right\}$

Podemos tentar determinar analiticamente esta resposta usando o Octave:

xxxxxxxxxx
>> U=tf(1,[1 0])    % ingressando tf da entrada degrau unitário

Transfer function 'U' from input 'u1' to output ...

      1
 y1:  -
      s

Continuous-time model.
octave:21> Y_H5 = U*H5  % calulando Y(s)

Transfer function 'Y_H5' from input 'u1' to output ...

                    1.7
 y1:  --------------------------------
      s^4 + 2.1 s^3 + 17.2 s^2 + 1.7 s

Continuous-time model.
>> pole(H5) % confirmando a posição dos pólos
ans =

  -1.0000 + 4.0000i
  -1.0000 - 4.0000i
  -0.1000 +      0i

>> num=H5.num{1}    % extraindo polinômio do numerador de H5(s)
num =

        0        0        0   1.7000

>> den=H5.den{1}    % extraindo polinômio do denominador de H5(s)
den =

    1.0000    2.1000   17.2000    1.7000

>> [r, p, k, e] = residue (num, den)    % resultado da expansão em frações parciais
r =

  -0.050565 + 0.011377i
  -0.050565 - 0.011377i
   0.101130 + 0.000000i

p =

  -1.0000 + 4.0000i
  -1.0000 - 4.0000i
  -0.1000 +      0i

k = [](0x0)
e =

   1
   1
   1

>>

A última parte do cálculo pode ser traduzida para:

$Y(s)={\displaystyle \frac{1,7}{s^4+2.1s^3+17.2s^2+1.7s}}={\displaystyle \frac{0,101130}{(s+0,1)}}-{\displaystyle \frac{0,050565\pm j0,011377}{s^2+2s+17}}={\displaystyle \frac{0,101130}{(s+0,1)}}-{\displaystyle \frac{0,051829\mathrm{\angle }167,{32}^o}{s^2+2s+17}}$$Y(s)=\dfrac{1,7}{s^4 + 2.1 s^3 + 17.2 s^2 + 1.7 s}=\dfrac{0,101130}{(s+0,1)}-\dfrac{0,050565 \pm j0,011377}{s^2 + 2 s + 17}=\dfrac{0,101130}{(s+0,1)}-\dfrac{0,051829 \angle{167,32^o} }{s^2 + 2 s + 17}$

onde o módulo e angulo dos resíduos da parte complexa podem ser calculados desta forma:

xxxxxxxxxx
>> abs(-0.050565 + 0.011377i)
ans = 0.051829
>> rad2deg(angle(-0.050565 + 0.011377i))
ans = 167.32
>>

A tranformada inversa de Laplace sobre a expressão $Y(s)$$Y(s)$ anterior, rende algo como:

xxxxxxxxxx
>> pkg load symbolic    % a função ilaplace() só trabalha sobre variáveis simbólicas
>> syms s t
>> n = sym(num(1)) * s^(length(num)-1);
warning: passing floating-point values to sym is dangerous, see "help sym"
warning: called from
    double_to_sym_heuristic at line 50 column 7
    sym at line 384 column 11

>> d = sym(den(1)) * s^(length(den)-1);
>> for i = 2:length(num)
    n = n + sym(num(i)) * s^(length(num)-i);
end
>> for i = 2:length(den)
    d = d + sym(den(i)) * s^(length(den)-i);
end
warning: passing floating-point values to sym is dangerous, see "help sym"
warning: called from
    double_to_sym_heuristic at line 50 column 7
    sym at line 384 column 11

warning: passing floating-point values to sym is dangerous, see "help sym"
warning: called from
    double_to_sym_heuristic at line 50 column 7
    sym at line 384 column 11

warning: passing floating-point values to sym is dangerous, see "help sym"
warning: called from
    double_to_sym_heuristic at line 50 column 7
    sym at line 384 column 11

>> % Agora n e d são variáveis simbólicas (parecem strings)
>> n
n = (sym)

  17
  ──
  10

>> d
d = (sym)

           2
   3   21⋅s    86⋅s   17
  s  + ───── + ──── + ──
        10      5     10

>> F = n / d                % versão simbólica de Y(s)
F = (sym)

              17
  ───────────────────────────
     ⎛         2            ⎞
     ⎜ 3   21⋅s    86⋅s   17⎟
  10⋅⎜s  + ───── + ──── + ──⎟
     ⎝      10      5     10⎠

>> f = ilaplace(F, s, t)    % corresponde a y(t)
f = (sym)

     ⎛      -t                 -t         ⎞             -t
     ⎜  45⋅ℯ  ⋅sin(4⋅t)   100⋅ℯ  ⋅cos(4⋅t)⎟             ───
  17⋅⎜- ─────────────── - ────────────────⎟⋅θ(t)        10
     ⎝       3362               1681      ⎠        170⋅ℯ   ⋅θ(t)
  ────────────────────────────────────────────── + ─────────────
                        10                             1681

>>

Note que o Octave não aplica relação de Euler sobre a parte associada com o $\sin \left(\right)$$\sin()$ e $\cos \left(\right)$$\cos()$,

Mas repare que o pólo em $s=-1$$s=-1$, contribui com esta parte na resposta:

$y(t){|}_{p=-0,1}={\displaystyle \frac{170}{1681}}{e}^{-0,1t}$$y(t)\vert_{p=-0,1}=\dfrac{170}{1681}e^{-0,1t}$

xxxxxxxxxx
>> 170/1681
ans = 0.1011

Lembrando da Relação de Euler:

$A\sin \left(x\right)+B\cos \left(x\right)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$$A \, \sin(x) + B \, \cos(x) = \sqrt{a^2+b^2} \, \sin(x+\varphi)$

onde $\phi =\arctan \left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)$$\varphi = \arctan\left( \dfrac{b}{a} \right)$

Obs.: use atan2(b,a) para obter ângulo no quadrante correto.

E considerando que o fator $e^{-t}$$e^{-t}$ se aplica sobre o $\sin \left(\right)$$\sin()$ e $\cos \left(\right)$$\cos()$, temos algo como:

$A{e}^{-t}\sin \left(4t\right)+B{e}^{-t}\cos \left(4t\right)=e^{-t}[A\sin \left(4t\right)+B\cos \left(4t\right)]=R{e}^{-t}\sin (4t+\phi )$$A e^{-t}\sin(4t)+B e^{-t}\cos(4t)=e^{-t}\left[ A \sin(4t) + B\cos(4t) \right] = R e^{-t} \sin(4t+\varphi)$

onde:

$R=\sqrt{A^2+B^2}$$R=\sqrt{A^2+B^2}$

$\phi =\arctan \left({\displaystyle \frac{B}{A}}\right)$$\varphi=\arctan\left( \dfrac{B}{A} \right)$

Aplicado neste caso, teremos algo como:

$y(t){|}_{s=-1\pm j4}=-{\displaystyle \frac{17}{10}}{e}^{-t}[{\displaystyle \frac{45}{3362}}\sin \left(4t\right)+{\displaystyle \frac{100}{1681}}\cos \left(4t\right)]$$y(t)\vert_{s=-1\pm j4}=-\dfrac{17}{10} e^{-t} \left[ \dfrac{45}{3362}\sin(4t) + \dfrac{100}{1681}\cos(4t) \right]$

resultando em:

xxxxxxxxxx
>> A=45/3362
A = 0.013385
>> B=100/1681
B = 0.059488
>> R=sqrt(A^2+B^2)
R = 0.060976
>> phi=atan2(B,A) % em rad !
phi = 1.3495
>> rad2deg(phi) % valor em graus
ans = 77.320
>> K=R*17/10    % valor final da "ponderação" para os pólos complexos
K = 0.1037

ou finalmente:

$y(t){|}_{s=-1\pm j4}=-0,1037e^{-t}\sin (4t+77,{32}^o)$$y(t)\vert_{s=-1\pm j4}=-0,1037 e^{-t} \sin(4t + 77,32^o)$

ou uma expressão completa como:

$y(t)=0,101130e^{-0,1t}-0,1037e^{-t}\sin (4t+77,{32}^o)$$y(t)=0,101130 e^{-0,1t} -0,1037 e^{-t} \sin(4t + 77,32^o)$

Transformando a equação anterior num gráfico, obtemos:

E fica mais fácil perceber como os pólos complexos não dominam na resposta deste sistema.

O gráfico anterior foi obtido com os comandos:

xxxxxxxxxx
>> figure; ezplot('0.1037*exp(-t)*sin(4*t+1.3495)', [0 10])
>> hold on; % para sobrepor novo  comando grsáfico sobre janela anterior
>> ezplot('0.10113*exp(-0.1*t)', [0 10])
>> h = findobj(gca, "type", "line");    % encontra o(s) objeto(s) das linhas
>> set(h(1), "linewidth", 1.5);         % aumenta espessura linha 1
>> set(h(2), "linewidth", 1.5);         % aumenta espessura linha 2
>> ylim([-0.05 0.11])                   % melhorando amplitudes da região mostrada
>> grid
>> legend('s=-1', 's=-1+j4')
>> title('y(t)')
>> print("fig6.png", "-dpng", "-r150");

Fim.

Fernando Passold, em 08/09/2026