Sistemas "Antecipativos"

Se no momento de definir a eq. do controladores não nos atentarmos para manter o grau no denominador igual ou maior que o grau no numerador, vamos obter um sistema "antecipativo", isto é, que exige amostras futuras do sinal de erro ou amostras futuras do sinal de controle.

Exemplo

Suponha a planta $BoG(z)$ (Ver: Exemplo de projeto de controlador deadbeat ﹣aula de 05/05/2025 ):

$BoG(z)=\dfrac{0.035501 (z+0.6945)}{(z-0.9048) (z-0.3679)}$

e suponha que inicialmente tenha sido definido o seguinte controlador (deadbeat):

$C_{Dead}(z)=\dfrac{K_{Dead} (z-0.9048) (z-0.3679)}{(z+0.6945)} = \dfrac{ K_{Dead}(z^2 - 1.273 z + 0.3329)}{(z + 0.6945)}$

Neste caso, o grau do numerador é maior que o grau do denominador. Teremos um problema prático de implementação (na verdade, impossível), veja:

$C(z)=\dfrac{U(z)}{E(z)}$

Neste caso:

$\begin{array}{rcl}% C_{Dead}(z) &=& \dfrac{ K_{Dead}(z^2 - 1.273 z + 0.3329)}{(z + 0.6945)} \cdot \dfrac{z^{-2}}{z^{-2}}\\ \dfrac{U(z)}{E(z)}&=&\dfrac{ K_{Dead} (1 - 1.273 z^{-1} + 0.3329 z^{-2}) }{ (z^{-1} + 0.6945z^{-2}) }\end{array}$

$U(z)\left( z^{-1} + 0.6945z^{-2} \right) = E(z) \left( 1 - 1.273 z^{-1} + 0.3329 z^{-2} \right)$

$z^{-1} U(z) = K_{Dead} \cdot E(z) \left( 1 - 1.273 z^{-1} + 0.3329 z^{-2} \right) - 0.6945z^{-2}$

Extraíndo a eq. de diferenças temos:

$u[k-1] = K_{Dead} \cdot \Big( e[k] - 1.273 e[k-1] + 0.3329 e[k-2] \Big) - 0.6945 u[k-2]$

Adaptando a expressão para $u[k]$, obtemos:

$u[k] = K_{Dead} \cdot \Big( \textcolor{red}{e[k+1]} - 1.273 e[k] + 0.3329 e[k-1] \Big) - 0.6945 u[k-1]$

e então repare no termo $e[k+1]$ que corresponde ao valor do erro no próximo instante de amostragem. A menos que sejamos videntes com garantia de prever o futuro 100%, não temos como estimar o valor de $\textcolor{red}{e[k+1]}$, o que significa que este controlador é impossível de ser implementado na vida real.

Fernando Passold, em 05/05/2025