Entendendo a Utilidade do Root Locus

Aula de 16/04/2026

Iniciando atividades e registrando dados

Antes de inciar com comandos associados com esta aula, vamos estabelecer uma rotina de registro das atividades realizadas no usando o comando diary e salvando os dados usando o comando save (ao final da seção de trabalho ou final da aula).

A função diary indica ao Matlab que seja criado um "dump file", um arquivo texto, contendo a cópia dos comandos usados e respostas obtidas a partir do instante em que foi emitido. Obviamente devemos indicar o nome do arquivo. Então:

>> diary aula_16042026.txt

Note que o Matlab cria um arquivo texto, mas eventualmente usando codificação diferente de UTF-8 que é mais atual e normalmente usada com editores texto compatíveis com notação Markdown e criação de páginas HTML. Então, antes de renomear o arquivo .txt criado no Matlab, recomenda-se mudar sua codificação de caracteres para UTF-8 e então renomear o arquivo para .md e editar o mesmo (depois da aula).

Iniciando com o Root Locus e suas implicações

Suponha que queremos analisar alguns sistemas e testar suas respostas para diferentes valores de ganho, especialmente verificar e testar valores de ganho que levem o mesmo para: a) uma resposta rápida mas criticamente amortecido e b) uma resposta rápida mas com algum overshoot aceitável (resposta subamortecida).

Planta 1

Seja a planta/sistema:

$G_1(s)={\displaystyle \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)}}$$G_1(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)}$

Este é um sistema de 3a-ordem (3 pólos, ou denominador da função transferência com 3 raízes). Ou seja, no plano-s rende algo como:

Ou seja, apenas 3 pólos reais, 2 mais próximos do eixo $j\omega$$j\omega$ e outro mais distante (em $s=-8$$s=-8$, teoricamente menos dominante na resposta).

Ingressando os dados do sistema no Matlab:

>> den=poly([- 8 -2 -1]) % criando um polinômio com dados das suas raízes
den =
     1    11    26    16
>> G1=tf(1,poly([-1 -2 -8]))

G1 =
 
             1
  ------------------------
  s^3 + 11 s^2 + 26 s + 16
 
Continuous-time transfer function.

Podemos comprovar os locais das raízes do denominador fazendo:

>> roots(den) % raizes do polinômio
ans =
           -8
           -2
           -1

Mas também podemos fazer isto, usando a função pole() sobre a função transferência:

>> pole(G1)
ans =
           -8
           -2
           -1

Por curiosidade o gráfico anterior mostrando a distribuição de pólos e zeros de um sistema pode ser feita no Matlab usando o comando: pzmap(). Neste caso, depois de ingressar a transfer function, bastaria fazer: >> pzmap(G1).

Por fim, para levantar o gráfico do Root Locus para esta planta:

>>  rlocus(G1)

Para revisar rapidamente teoria sobre Root Locus, ir para [O que é o Root Locus?].

Com o comando rlocus() anterior, obtemos os seguintes traçados:

O que o RL nos motra é como evoluem ("caminham") os pólos de malha-fechada a medida que o ganho aumenta.

Testando a resposta do sistema para $K=1,5$$K=1,5$ (a fim de obter uma resposta criticamente amortecida ou super-amortecida):

>> K1=1.5;
ftmf1=feedback(K1*G1,1) % fechando a malha

ftmf1 =
 
             1.5
  --------------------------
  s^3 + 11 s^2 + 26 s + 17.5
 
Continuous-time transfer function.

Para o valor de ganho escolhido, podemos confirmar onde ficaram localizados os pólos de MF:

>> pole(ftmf1)
ans =
      -8.0353
      -1.6218
      -1.3429

Note que só temos pólos reais, portanto teremos um tipo de resposta do tipo super-amortecida (caso de pólos reais não repetidos) tendendo à uma resposta criticamente amortecida (neste caso, teríamos um par de pólos reais iguais).

Podemos mostrar (sobrepor) no gráfico do RL anterior, os pólos de MF referentes a este valor de ganho, para ajudar a correlacionar a posição dos pólos de MF x resposta temporal obtida:

>> hold on % para indicar sobreposição de gráficos
>> plot(real(pole(ftmf1), imag(ftmf1), '+r'))
Undefined function 'imag' for input arguments of type
'tf'.} 

Ops... cometemos algum erro de sintaxe ou de chamada de alguma função. Isto pode ser "consertado" usando comando help <função> para tentar descobrir o problema:

xxxxxxxxxx
>> help real
 real   Complex real part.
    real(X) is the real part of X.
    See I or J to enter complex numbers.
 
    See also help isreal, help imag, help conj, help angle, help abs.

    Other functions named real

Hum... observando o comando anterior, notamos que usamos a função imag (sintaxe correta) mas sobre uma transfer funcion e não sobre uma variável numérica. Este foi o motivo do erro anterior... Ok, consertando o problema:

xxxxxxxxxx
>> plot(real(pole(ftmf1)), imag(pole(ftmf1)), '+r') % plota marcadores "+" vermelhos (red)

Agora sim, podemos observar o RL anterior com as marcas "+" em vermelho ressaltando onde ficam localizados os pólos de MF deste sistema, para o valor de ganho $K=1,5$$K=1,5$:

- Mas como seria a resposta temporal em malha fechada, deste sistema, com este valor de ganho?

Simples, vamos criar outra janela gráfica, e traçar esta resposta usando a função step() do Matlab:

xxxxxxxxxx
>> figure; step(ftmf1)

Obtemos então:

Note a resposta quase criticamente amortecida como esperada na teoria vista em [Resposta Temporal de Sistemas Lineares].

Para lembrar de tipos de respostas temporais, ir para: [Resumo sobre Tipos de Respostas Temporais].

Repare também que apesar termos apresentado uma entrada degrau unitário ao sistema de malha-fechada (step(1*ftmf1)), o valor final, de regime permanente atingido pelo sistema, foi bem baixo: $y(\mathrm{\infty })=$$y(\infty)=$ 0, 0857. Isto ocorreu porque a própria função $G_1(s)$$G_1(s)$ já possui um ganho DC muito baixo, que não aumentou muito mesmo fechando a malha do sistema.

Mais sobre ganho DC ver [Ganho DC].

Bom, vamos ver se entendemos o que ocorre quando variamos o ganho no sistema em malha-fechada. Vamos aumentar o valor do ganho e verificar o que ocorre:

xxxxxxxxxx
>> K2=5; % aumentando o ganho para K = 5
>> ftmf2=feedback(K2*G1,1); % calculando novamente a nova MF com este valor de ganho
>> pole(ftmf2) % mostrando onde ficaram localizados estes pólos de MF
ans =
      -8.1149 +          0i
      -1.4425 +    0.71197i
      -1.4425 -    0.71197i

Note que agora temos um par de pólos complexos, então uma resposta com overshoot (e oscilações) pode ser esperada -- resposta subamortecida.

xxxxxxxxxx
>> figure; rlocus(G1)
>> hold on;
>> plot(real(pole(ftmf2)), imag(pole(ftmf2)), '+r')
>> % axis([xmin xman ymin ymax])
>> axis([-9 1 -6 6]) % apenas para restringir a região desejada para o gráfico

Obtemos agora este RL:

E observando a resposta temporal que seria obtida então para este valor de ganho:

xxxxxxxxxx
>> figure; step(ftmf2)

Apesar dos pólos de MF complexos, a resposta não apresentou um overshoot visível.

Mas vamos supor que nosso "cliente", para o qual estamos projetando um sistema de controle automático (em malha fechada) usando apenas controle proporcional, admite um certo valor de overshoot. Como podemos descobrir de forma mais rápida o valor de ganho que deveríamos adotar?

Vamos lembrar das equações prevendo parâmetros temporais como $t_s=$$t_s=$ tempo de assentamento, $t_p=$$t_p=$ tempo do instante de pico do overshoot e $t_r=$$t_r=$ tempo de subida. Existem outros parâmetros (de sistemas puros de 2a-ordem em MF) como: $\zeta =$$\zeta=$ fator amortecimento, $\mathrm{\%}OS=$$\%OS=$ percentual do overshoot e ${\omega }_n=$$\omega_n=$ frequência natural da oscilação. Material disponível em: [Resposta Temporal de Sistemas Lineares].

Vamos nos concentrar apenas na equação:

$\mathrm{\%}OS=\exp \left({\displaystyle \frac{-\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\right)\times 100\mathrm{\%}$$\%OS=\exp ( \dfrac{-\zeta \, \pi}{ \sqrt{1 - \zeta^2} } ) \times 100\%$

Esta eq. nos mostra que o overshoot depende apenas do parâmetro $\zeta$$\zeta$.

Mas no nosso caso, queremos o inverso, eventualmente nos é dado o valor tolerável máximo para o $\mathrm{\%}OS$$\%OS$ e então o que nos falta é saber o valor de $\zeta$$\zeta$. Este valor pode ser encontrado "" invertendo" a eq. anterior e então obtemos:

$\zeta ={\displaystyle \frac{-\ln \left(\mathrm{\%}OS/100\right)}{\sqrt{{\pi }^2+{\ln }^2(\mathrm{\%}OS/100)}}}$$\zeta=\dfrac{-\ln(\%OS/100)}{ \sqrt{\pi^2+\ln^2(\%OS/100)} }$

Agora devemos nos lembrar que no plano-s, sistemas com mesmo valor de $\mathrm{\%}OS$$\%OS$ ou $\zeta$$\zeta$, devem ter pólos de MF que cruzem com uma linha reta radial no plano-s, ou seja, uma linha reta que parte da origem do plano-s e segue para $-\mathrm{\infty }$$-\infty$ e cujo ângulo varia com o valor de $\zeta$$\zeta$.

Ocorre que o Matlab traz uma função que traça (ou sobrepõe) esta linha no plano-s, a função: sgrid(). Então podemos traçar um RL e em seguida sobrepor uma linha guia para o $\zeta$$\zeta$ ou $\mathrm{\%}OS$$\%OS$ desejado, para então descobrir que valor de ganho adotar.

xxxxxxxxxx
>> OS=25; % supondo que seja tolerável um %OS de 25%
>> zeta=(-log(OS/100))/(sqrt(pi^2+(log(OS/100)^2)))
zeta =
      0.40371
>> figure; rlocus(G1)
>> hold on;
>> sgrid(zeta,0) % sobrepondo a linha guia para %OS = 25%
>> axis([-9 1 -6 6]) % restringido a região mostrada do gráfico do RL

E agora com ajuda do mouse e Data Tips do Matlab, podemos encontrar o correspondente valor aproximado do ganho:

Fechando a malha com este valor, teremos:

xxxxxxxxxx
>> K3=45.2; % fixando o ganho neste valor
>> ftmf3=feedback(K3*G1,1); % fechando a malha
>> pole(ftmf3) % apenas conferindo os pólos de MF
ans =
      -8.8423 +          0i
      -1.0788 +     2.3995i
      -1.0788 -     2.3995i
>> plot(real(pole(ftmf3)), imag(pole(ftmf3)), 'sm') % sobrepondo os mesmos no RL
>> figure; step(ftmf3) % resposta temporal para entrada degrau unitário

E então obtemos a seguinte resposta:

Planta 2

Seja agora outra planta:

$G_2(s)={\displaystyle \frac{(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}}$$G_2(s)=\dfrac{(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}$

Esta planta possui a seguinte distribuição de pólos-zeros no plano-s:

O detalhe é que não estamos controlando o ganho DC da planta, isto é, como no caso de $G_1(s)$$G_1(s)$, o ganho DC final pode ser muito baixo. A fim de evitar um ganho DC muito baixo, vamos recalcular alguns fatores:

$G_2(s)={\displaystyle \frac{(1)(5)(7)}{(3)}}\cdot {\displaystyle \frac{(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}}={\displaystyle \frac{35}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}}={\displaystyle \frac{11,6666666667(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}}$$G_2(s)=\dfrac{(1)(5)(7)}{(3)} \cdot \dfrac{(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)} = \dfrac{35}{3} \cdot \dfrac{(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)} = \dfrac{11,6666666667(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}$

Ingressando no Matlab:

xxxxxxxxxx
>> G2=tf(1*5*7*[1 3],3*poly([-1 -5 -7]))

G2 =

           35 s + 105
----------------------------
  3 s^3 + 39 s^2 + 141 s + 105

Continuous-time transfer function.

>> zpk(G2)
ans =

    11.667 (s+3)
-----------------
  (s+7) (s+5) (s+1)

Continuous-time zero/pole/gain model.

Verificando como ficaria o RL para este sistema/planta com alguns valores diferentes de ganho:

xxxxxxxxxx
>> close all % limpar janelas gráficas
>> rlocus(G2)

Vamos tentar primeiramente uma resposta criticamente amortecida, isto é, com pólos reais iguais no plano-s, o que pode ser obtido com $K\cong 0,25$$K \cong 0,25$:

xxxxxxxxxx
>> K1b=0.25;
>> ftmfG2K1b=feedback(K1b*G2,1) % fechando a malha
ftmfG2K1b =

           8.75 s + 26.25
--------------------------------
  3 s^3 + 39 s^2 + 149.8 s + 131.2

Continuous-time transfer function.

>> pole(ftmfG2K1b) % listando os pólos de MF
ans =
      -5.8814 +    0.87936i
      -5.8814 -    0.87936i
      -1.2371 +          0i

Notamos que já obtivemos pólos com raízes complexas. Signica que devemos baixar o ganho:

xxxxxxxxxx
>> K1b=0.2; % testando outro valor de ganho para aproximar + os 2 pólos reais dominantes
>> ftmfG2K1b=feedback(K1b*G2,1); % recalculando a nova FTMF(s)
>> pole(ftmfG2K1b)
ans =
      -5.9046 +    0.63778i
      -5.9046 -    0.63778i
      -1.1908 +          0i
>> K1b=0.16; % ainda pólos complexos, testando outro valor
>> ftmfG2K1b=feedback(K1b*G2,1);
>> pole(ftmfG2K1b)
ans =
      -5.9234 +     0.3434i
      -5.9234 -     0.3434i
      -1.1533 +          0i
>> K1b=0.15;
>> ftmfG2K1b=feedback(K1b*G2,1);
>> pole(ftmfG2K1b)
ans =
      -5.9281 +    0.21519i
      -5.9281 -    0.21519i
      -1.1438 +          0i

Por fim, mantido este valor de ganho para evitar perder mais tempo testando outros valores. Verificando a resposta obtida:

xxxxxxxxxx
>> figure; step(ftmfG2K1b)

E se objetivo agora é aceitar uma resposta sub-amortecida, porém com overshoot $\le$$\le$ 10%?

xxxxxxxxxx
>> OS=10; % novo valor para OS
>> zeta=(-log(OS/100))/(sqrt(pi^2+(log(OS/100)^2))) % recalculando fator amortecimento
zeta =
      0.59116
>> figure(1) % fasendo foco na janela da figura contendo ultimo RL
>> hold on
>> sgrid(zeta,0)

Buscando no RL o valor do ganho para $\mathrm{\%}OS\cong 10\mathrm{\%}$$\%OS \cong 10\%$:

xxxxxxxxxx
>> K2b=4.6; % ganho para OS aprox 10%
>> ftmfG2K2b=feedback(K2b*G2,1);
>> pole(ftmfG2K2b)
ans =
      -5.1568 +     6.8094i
      -5.1568 -     6.8094i
      -2.6864 +          0i
>> % verificando a resposta obtida:      
>> figure; step(ftmfG2K2b)

Trabalho Extra-classe

Traçar o RL, descobrir os ganhos e verificar as respostas encontradas, para resposta criticamente amortecida e sub-amortecida tolerando overshoot $\le$$\le$ 20\% para os seguintes sistemas:

• $G_3(s)={\displaystyle \frac{K(s+7)}{(s+1)(s+3)}}$$G_3(s)=\dfrac{K(s+7)}{(s+1)(s+3)}$
• $G_4(2)={\displaystyle \frac{K(s+5)}{(s+1)(s+3)(s+7)}}$$G_4(2)=\dfrac{K(s+5)}{(s+1)(s+3)(s+7)}$

Obs.: Determine o valor de $K$$K$ de forma a obter plantas com ganho DC unitário.

Deadline: próxima aula.

Resultados esperados:

O objetivo desta aula era levantar a aprender a usar os Root Locus para os seguintes sistemas mostrados abaixo:

Planta	Pólos/zeros no plano-s	Root Locus & Respostas
$G_1(s)={\displaystyle \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+8)}}$$G_1(s)=\dfrac{K}{(s+1)(s+2)(s+8)}$		?
$G_2(s)={\displaystyle \frac{K(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}}$$G_2(s)=\dfrac{K\;(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+7)}$		?
$G_3(s)={\displaystyle \frac{K(s+7)}{(s+1)(s+3)}}$$G_3(s)=\dfrac{K(s+7)}{(s+1)(s+3)}$		?
$G_4(2)={\displaystyle \frac{K(s+5)}{(s+1)(s+3)(s+7)}}$$G_4(2)=\dfrac{K(s+5)}{(s+1)(s+3)(s+7)}$		?

Encerrando seção de trabalho no Matlab

Vamos terminar a aula lembrando de fechar o arquivo "diary" criado e salvando dados para o caso de querer continuar na próxima aula usando estes dados:

xxxxxxxxxx
>> save aula_16042026 % cria arquivo .mat (binário do Matlab, com dados)
>> diary off % fecha o arquivo diary criado
>> quit % encerra atividades com o Matlab

👋

Material Extra

O que é o Root Locus?

Lembre-se: O RL é o resultado do que ocorre quando tomamos a função transferência repassada para o mesmo e o introduzimos dentro de uma malha fechada tradicional, com simples ganho (ou controlador) proporcional $K$$K$ e realimentação negativa. O que é RL faz é justamente variar este valor de ganho e gerar traços no plano-s mostrando como varia a localização dos pólos de MF conforme o valor do ganho $K$$K$ é modificado:

Resumo sobre Tipos de Respostas Temporais

]

Ganho DC

Como se determina o ganho DC de um sistema? Resposta: usando o Teorema do Valor Final associado com a Transformada de Laplace que estabelece que: Se $Y(s)=R(s)\cdot FTMF(s)$$Y(s)=R(s) \cdot FTMF(s)$, então $y(t)={\mathcal{L}}^{\mathcal{-}\mathcal{1}}\{Y(s)\}$$y(t)=\mathcal{L^{-1}}\{ Y(s) \}$, Mas podemos determinar $y(t)$$y(t)$ para $t\to \mathrm{\infty }$$t \to \infty$, ou $y(\mathrm{\infty })$$y(\infty)$, calculando: ${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}s\cdot Y(s)}$$\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to \infty} s \cdot Y(s)$.

Exemplo${}_1$$_1$: calculando o ganho DC da planta $G_1(s)$$G_1(s)$ teremos: $G_1(s)={\displaystyle \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)}}$$G_1(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)}$ Então, quando se aplica uma entrada degrau unitário à este sistema temos: $Y(s)=R(s)\cdot G_1(s)$$Y(s)=R(s) \cdot G_1(s)$ onde $R(s)=$$R(s)=$ função transferência da entrada Degrau, que é: $\mathcal{L}\{Degrau\}=1/s$$\mathcal{L}\{ Degrau \}=1/s$. teremos como resposta: $Y(s)={\displaystyle \frac{1}{s(s+1)(s+2)(s+8)}}$$Y(s)=\dfrac{1}{s(s+1)(s+2)(s+8)}$ Levando em conta o teorema do valor final da Transformada de Laplace: ${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}s\cdot Y(s)=\underset{s\to 0}{lim}\cancel{s}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\cancel{s}(s+1)(s+2)(s+8)}}}$$\displaystyle\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to \infty} s \cdot Y(s) = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \cdot \dfrac{1}{ \cancel{s} (s+1)(s+2)(s+8)}$ E assim, teremos: $y(\mathrm{\infty })={\displaystyle \underset{s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)}}}$$y(\infty)=\displaystyle\lim_{s \to 0} \dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)}$ que resulta: $y(\mathrm{\infty })={\displaystyle \frac{1}{(1)(2)(8)}}={\displaystyle \frac{1}{16}}=0,0625$$y(\infty)=\dfrac{1}{(1)(2)(8)}=\dfrac{1}{16}=0,0625$. Isto significa que o sistema vai tender ao valor de saída 0,0625 quando o mesmo for exposto a uma entrada degrau de valor unitário, ou: Você pode obter este último gráfico, simplesmente fazendo: step(G1).

Poderíamos ter considerado um ganho DC para a planta $G_1(s)$$G_1(s)$ fazendo: $G_1(s)={\displaystyle \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)}}\cdot {\displaystyle \frac{(1)(2)(8)}{(1)}}={\displaystyle \frac{16}{(s+1)(s+2)(s+8)}}$$G_1(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+8)} \cdot \dfrac{(1)(2)(8)}{(1)} = \dfrac{16}{(s+1)(s+2)(s+8)}$ Teste com a função step() para comprovar este fato! E depois usando a funçao dcgain(G1).

🎵 Fernando Passold, em 16/04/2026.