TDE 1: Modelagem/Simulações Circuito RC

Problema:

Seja o circuito:

             R
Vin ───────/\/\/───●──── Vout
                   │
                  === C
                   │
                  GND

Perguntas:

• o que acontece com a tensão no capacitor se colocarmos (degrau de) 10 Volts na entrada do circuito?
• Idem, mas agora colocando uma senóide na entrada deste circuito?

Parte 1 — Modelagem do Circuito usando EDO

Obtenha a equação do circuito:

$RC{\displaystyle \frac{d{V}_{out}}{dt}}+V_{out}=V_{in}$$RC\dfrac{dV_{out}}{dt}+V_{out}=V_{in} \qquad$(1)

Mostre a dedução/desenvolvimento.

Parte 2 — Entrada Degrau

Aplique uma entrada degrau de 10 Volts e resolva a equação do circuito (eq. (1)) considerando esta tensão de entrada. Deve ser obtido algo como:

$V_{out}(t)=10(1-e^{-t/RC})$$V_{out}(t)=10(1-e^{-t\Big/RC}) \qquad$(2)

1. Mostre a dedução e desenvolvimetno saindo da eq. (1) até alcançar a eq. (2).
2. Plote o gráfico da saída $V_{o}ut(t)$$V_out(t)$ (usando Octave/Matlab) no período de tempo, $t=0$$t=0$ até $t=5\cdot \tau$$t=5 \cdot\tau$, onde $\tau =RC$$\tau=RC$ (constante de tempo deste circuito).
3. Considere fixo o valor do capacitor em $C=1\mu F$$C=1\mu F$ e varie o valor do resistor para $R=100\mathrm{\Omega },1K\mathrm{\Omega },10K\mathrm{\Omega }$$R={100\Omega, \; 1K\Omega,\; 10K\Omega}$ e mostre (calcule) para cada caso o novo valor da constante de tempo e apresente num mesmo gráfico, 3 curvas de $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$ retratando os 3 casos — no período de tempo $t=0$$t=0$ até 10 mili-segundos. Você pode usar o Octave/Matlab para realizar os cálculos e criar o gráfico com as 3 curvas.
4. Agora considere fixo o valor do resistor em $R=1K\mathrm{\Omega }$$R=1K\Omega$ e varie o valor do capacitor para $C=100nF,1\mu F,10\mu F$$C=100nF,\; 1\mu F,\: 10\mu F$ e e mostre para cada caso o novo valor da constante de tempo e apresente num mesmo gráfico, 3 curvas de $V_{o}ut(t)$$V_out(t)$ retratando os 3 casos — no período de tempo $t=0$$t=0$ até 10 mili-segundos. Você pode usar o Octave/Matlab para realizar os cálculos e criar o gráfico com as 3 curvas.
5. Você deve ter percebido porque este circuito possui uma contante de tempo fixa: $\tau =RC$$\tau=R\,C$.

Parte 3 — Mesmo circuito mas usando Laplace

1. Partir da eq. (1) para obter a função transferênica do circuito. Demonstre analiticamente como se alcança a equação abaixo:

   $H(s)={\displaystyle \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}={\displaystyle \frac{1}{RCs+1}}$$H(s)=\dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\dfrac{1}{RCs+1}\qquad$(3)

2. Depois aplique o degrau de 10 Volts na entrada, considerando $V_{in}(t)=10\cdot u(t)$$V_{in}(t)=10 \cdot u(t)$, onde $u(t)=$$u(t)=$ Degrau (unitário).

3. Demonstre (analiticamente) como se obtêm a equação para $V_{OUT}(s)$$V_{OUT}(s)$ e depois $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$ fazendo a transformada Inversa de Laplace usando o método da expanção em fraçoes parciais.

4. Simule uma entrada degrau de 10 Volts usando a função transferência co circuito e a função step(). Compare com o resultado obtido no item 2 da Parte 2. Os gráficos devem ter resultados iguais. Dica: Eventualmente você pode usar o comando xlim([0 5*tau]); (depois do comando step()) para forçar o gráfico na faixa temporal entre $t=0$$t=0$ e $t=5\tau$$t=5\,\tau$.

Parte 4 — Aplicando uma senoide

Agora considere:

$V_{in}(t)=V_p\cdot \sin (2\pi 100\cdot t)$$V_{in}(t)=V_p \cdot \sin \left( 2\pi 100 \cdot t \right)$,

ou seja, uma onda senoidal de entrada, oscilanbdo em 100 Hz, com $V_p=2$$V_p=2$ ou 2 Volts de Pico (resulta 4 Volts pico à pico).

e considere:

• $R=1K6\mathrm{\Omega }$$R=1K6\Omega$.
• $C=1\mu F$$C=1\mu F$.

Calcule:

1. A nova constante de tempo;

2. A frequência de corte deste circuito (um filtro passa-baixa);

3. Determine a equação de $V_{OUT}(s)$$V_{OUT}(s)$.

4. Determine a equação de $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$ fazendo a transformada Inversa de Laplace de $V_{OUT}(s)$$V_{OUT}(s)$, chegando à:

   $V_{out}={\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}}\sin (\omega t-\arctan \left(\omega RC\right))$$V_{out}= \dfrac{V_m}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \sin \left( \omega t-\arctan(\omega RC) \right)$

5. Plote o gráfico de $V_{in}(t)$$V_{in}(t)$ e $V_{out}(s)$$V_{out}(s)$ para os primeiros 2,5 ciclos da onda senoidal de entrada oscilando à 100 Hz.

6. Calcule o "ganho" (ou atenuação) causada pelo circuito na frequência de 100 Hz. E calcule a defasagem que este circuito introduz na senóide de entrada. Demonstre como são realizados estes cálculos.

7. Use a função lsim() do Octave/Matlab para mostrar (num gráfico) como fica $V_{out}(t)$$V_{out}(t)$, simulando 3 casos de onda senoidal na entrada deste circuto, mas oscilando em 3 diferentes frequências:

   1. Senóide oscilando à 10 Hz;
   2. Senóide oscilando à 100 Hz;
   3. Senóide oscilando à 1 KHz.

8. Você deve ter percebido que este circuito se comporta com um filtro passa-baixas (deixa passar sem atenuar o sinal de entrada, apenas frequências abaixo da sua frequência de corte) e que a frequência de corte do mesmo é de:

   $f_c={\displaystyle \frac{1}{2\pi RC}}=100$$f_c=\dfrac{1}{2\pi RC}=100$ Hz com os valores agora adotados.

   Uma década acima da frequência de corte (ou seja, quando $f=$$f=$ 1 KHz), o sinal de entrada é atenuado em 20 dB:

   $|G{|}_{dB}=-20{\log }_{10}(|G|)$$|G|_{dB}=-20 \log_{10}\left( |G| \right)$

   $20=-20{\log }_{10}(|G|)\therefore |G|={10}^{-20/20}={10}^{-1}=0,1$$20 = -20 \log_{10}\left( |G| \right) \quad \therefore \quad |G|=10^{-20\Big/20}=10^{-1}=0,1$

   04/09/2026ou seja, uma década acima da freq. de corte, o sinal de entrada têm sua amplitude atenuada $10\times$$10 \times$.

Fim.

Deadline: 04/09/2026.

Fernando Passold, em 19/08/2026.