Espaço de Estados

<!--Ref: Representações do espaço de estados de sistemas físicos lineares, https://lpsa.swarthmore.edu/Representations/SysRepSS.html-->

Introdução

À medida que os sistemas se tornam mais complexos, representá-los com equações diferenciais ou via funções de transferência torna-se complicado.

Isto é ainda mais verdadeiro se o sistema contiver múltiplas entradas e saídas. Ou seja, esta representação é adequada para sistemas "MIMO": Múltiplas Entradas/Múltoplas Saídas. Este documento apresenta o método do espaço de estados que busca aliviar este problema.

A representação no espaço de estados de um sistema substitui uma equação diferencial de $n$$n$-ésima ordem por uma única equação diferencial matricial de primeira ordem. A representação do espaço de estados de um sistema é dado por duas equações:

Note: $\mathbf{A}$$\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$$\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$$\mathbf{C}$ e $\mathbf{D}$$\mathbf{D}$ (em negrito) são matrizes; $\mathbf{x}(t)$$\mathbf{x}(t)$, $\mathbf{u}(t)$$\mathbf{u}(t)$ e $\mathbf{y}(t)$$\mathbf{y}(t)$ são arrays ou vetores (matrizes de 1 dimensão).

Eventualmente trocaremos a variável $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$ por $\mathbf{q}$$\mathbf{q}$, principalmente nos casos de alguma modelagem de sistemas físicos onde normalmente $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$ representa deslocamentos.

A primeira equação é chamada de equação de estado, a segunda equação é chamada de equação de saída.

Num sistema de $n$$n$-ésima ordem (ou seja, que pode ser representada por uma equação diferencial de ordem $n$$n$) teríamos $r$$r$ entradas e $m$$m$ saídas e o tamanho de cada uma das matrizes é como a que segue:

• $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$ é uma matriz $n\times 1$$n \times 1$ ($n$$n$ linhas por 1 coluna); $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$ é chamado de vetor de estados e varia em função do tempo;
• $\mathbf{A}$$\mathbf{A}$ é matriz $n\times n$$n \times n$; $\mathbf{A}$$\mathbf{A}$ é a matriz de estados, e é constante (uma vez definidda);
• $\mathbf{B}$$\mathbf{B}$ é outra matriz $n\times r$$n \times r$; $\mathbf{B}$$\mathbf{B}$ é a matriz de entrada, é constante;
• $\mathbf{u}$$\mathbf{u}$ é uma matriz $r\times 1$$r \times 1$; $\mathbf{u}$$\mathbf{u}$ é a entrada, varia em função do tempo;
• $\mathbf{C}$$\mathbf{C}$ é uma matriz $m\times n$$m \times n$; $\mathbf{C}$$\mathbf{C}$ é a matriz de saída, contante;
• $\mathbf{D}$$\mathbf{D}$ é uma matriz $m\times r$$m \times r$; $\mathbf{D}$$\mathbf{D}$ é a matriz de transição direta (ou de passagem), também contante;
• $\mathbf{y}$$\mathbf{y}$ é uma matriz $m\times 1$$m \times 1$; $\mathbf{y}$$\mathbf{y}$ é a saída, varia em funçãro do tempo.

Note:

• A primeira equação, a de estado, tem uma única derivada de primeira ordem do vetor de estado à esquerda e o vetor de estados $\mathbf{x}(t)$$\mathbf{x}(t)$, e o vetor de entradas $\mathbf{u}(t)$$\mathbf{u}(t)$ à direita. Não há outras derivadas no lado direito.
• A segunda equação, a de saída, contêm o vetor de saídas à esquerda e a vetor de estados $\mathbf{x}(t)$$\mathbf{x}(t)$, e o vetor de entradas $\mathbf{u}(t)$$\mathbf{u}(t)$ na direita. Não há derivadas no lado direito.

Para sistemas com uma única entrada e uma única saída, ou sistemas “SISO” (a maioria dos sistemas que estamos considerando) essas variáveis tornam-se unitárias com $r=1$$r=1$ e $m=1$$m=1$, e então o sistema se torna:

neste caso:

• $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$ resulta numa matriz $n\times 1$$n \times 1$ ($n$$n$ linhas por 1 coluna);
• $\mathbf{A}$$\mathbf{A}$ resultna numa matriz $n\times n$$n \times n$;
• $\mathbf{B}$$\mathbf{B}$ resulta $n\times 1$$n \times 1$;
• $u$$u$ resulta $1\times 1$$1 \times 1$ (ou seja, um escalar);
• $\mathbf{C}$$\mathbf{C}$ resulta $1\times n$$1 \times n$;
• $D$$D$ resulta $1\times 1$$1 \times 1$ (ou seja, outro escalar);
• $y$$y$ resulta $1\times 1$$1 \times 1$ (ou seja, um escalar simpels);

As vantagens desta representação incluem:

• A notação é muito compacta. Mesmo grandes sistemas podem ser representados por duas equações simples.
• Como todos os sistemas são representados pela mesma notação, é muito fácil desenvolver técnicas gerais para resolver sistemas deste tipo.
• Os computadores podem simular facilmente equações de primeira ordem (via métodos numéricos).

Exemplo_1: Modelagem de sistema de 4a-ordem

Considere um sistema de 4a-ordem representado por um único sistema de equações diferenciais de 4a-ordem com estrada $x$$x$ e saída $z$$z$:

${\displaystyle \frac{d^{4}z}{dt}}+a_1{\displaystyle \frac{d^{3}z}{dt}}+a_2{\displaystyle \frac{d^{2}z}{dt}}+a_3{\displaystyle \frac{dz}{dt}}+a_{4}z=b_{0}x$$\dfrac{d^4\,z}{dt}+a_1 \dfrac{d^3\,z}{dt} + a_2 \dfrac{d^2\, z}{dt} + a_3 \dfrac{d\,z}{dt} + a_4\,z = b_0\,x$

Podemos definir 4 novas variáveis: $q_1$$q_1$ à $q_4$$q_4$:

Assim teremos:

${\displaystyle \frac{d^{4}z}{dt}}+a_1{q}_4+a_2{q}_3+a_3{q}_2+a_4{q}_1=b_{0}x$$\dfrac{d^4\,z}{dt} + a_1 \, q_4 + a_2 \, q_3 + a_3 \, q_2 + a_4 \, q_1 = b_0 \, x$

mas então:

$\dot{q_4}={\displaystyle \frac{d^{4}z}{dt}}$$\dot{q_4} = \dfrac{d^4\,z}{dt}$

assim:

${\displaystyle \frac{d^{4}z}{dt}}=q_4=-a_4{q}_1-a_3{q}_2-a_2{q}_1-a_1{q}_4+b_{0}x$$\dfrac{d^4\,z}{dt} = q_4 = -a_4 \, q_1 -a_3 \, q_2 - a_2 \, q_1 - a_1 \, q_4 + b_0 \, x$

e então podemos de re-escrever a equação diferencial de 4a-ordem como 4 equações de primeira ordem:

No formato "maricial" ou dize-se canônico de espaço de estados, obtemos a equação de estados como sendo:

e obtemos a equação de saída:

com:

com a entrada sendo $u=x$$u=x$ e a saída $z$$z$.

Para este problema foi fácil encontrar uma representação do espaço de estados. Em muitos casos (por exemplo, se houver derivadas no lado direito da equação diferencial) este problema pode ficar mais difícil.

Exemplo_2: Modelagem de Sistema massa-mola

Outra maneira poderosa de desenvolver um modelo de espaço de estados é a partit do digrama do corpo livre. Se você escolher como variáveis de estado aquelas quantidades que determinam a energia no sistema, um sistema de espaço de estados geralmente resulta mais fácil de derivar.

Por exemplo, em um sistema mecânico você escolheria a extensão das molas (energia potencial, $\frac{1}{2}k{x}^2$$\frac{1}{2}kx^2$) e a velocidade das massas (energia cinética, $\frac{1}{2}m{v}^2$$\frac{1}{2}mv^2$). Num sistema elétrico, poderia ser escolhida a tensão entre os capacitores, $\frac{1}{2}C{V}^2$$\frac{1}{2}CV^2$ ($v$$v$=tensão) e a corrente através de indutores ($\frac{1}{2}L{i}^2$$\frac{1}{2}Li^2$).

Suponha que se deseja o modelo no espaço de estados do sistema mecânico mostrado abaixo:

A entrada seria $f_a(t)$$f_a(t)$ (força empurrando o massa $m$$m$) e a saída: $z$$z$ (deslocamento horizontal da massa).

Um diagrama do corpo livre para este sistema resulta:

De onde podemos extrair as equações:

$m\ddot{x}+k_{1}x+k_{2}x-k_{1}z=f_a$$m \, \ddot{x} + k_1 \, x + k_2\,x - k_1 \, z = f_a$

e

$b\cdot \dot{z}+k_{1}z-k_1\cdot x=0$$b \cdot \dot{z} + k_1\,z - k_1 \cdot x = 0$

Existem 3 elementos de armazenamento de energia, assim são esperadas 3 equações de estado.

Os elementos de armazenamento de energia são a mola $k_2$$k_2$, a massa $m$$m$ e a primeira mola $k_1$$k_1$. Portanto escolhemos como variáveis de estado: $x$$x$ (a energia na mola $k_2$$k_2$ é $\frac{1}{2}{k}_2{x}^2$$\frac{1}{2}k_2x^2$), a velocidade em $x$$x$ (a energia na massa $m$$m$ é $\frac{1}{2}m{v}^2$$\frac{1}{2}mv^2$, onde $v$$v$ é a derivada primeira de $x$$x$) e $y$$y$ (a energia na mola $k_1$$k_1$ é $\frac{1}{2}{k}_1(z-x{)}^2$$\frac{1}{2}k_1(z-x)^2$, então poderíamos escolher $z-x$$z-x$ como uma variável de estado, mas usaremos apenas $z$$z$ (uma vez que $x$$x$ já é uma variável de estado; lembre-se de que a escolha de variáveis de estado não é única).

Nossas variáveis de estado se tornam então:

Agora necessitamos equações para as suas derivadas. As equações do movimento à partir do diagrama de corpo livre leva à:

ou descritas de outra forma, levam à:

com a entrada sendo $u=f_a$$u=f_a$ e a saída sendo $y=z$$y=z$.

Exemplo_3: Modelagem de Sistema Elétrico

Para desenvolver um sistema de espaço de estados para um sistema elétrico, tente escolher a tensão através de capacitores e corrente através de indutores como variáveis de estado. Lembrar de:

então, se pudermos escrever equações para tensões através de um indutor, esta torna-se uma equação de estado quando a dividimos pela indutância (ou seja, se tivermos uma equação para $v_{indutor}$$v_{indutor}$ e dividimos por $L$$L$, temos a equação ${\displaystyle \frac{d{i}_{indutor}}{dt}}$$\dfrac{d\,i_{indutor}}{dt}$, que seria uma das nossas variáveis de estado).

Da mesma forma, se pudermos escrever uma equação para a corrente através do capacitor e dividirmos pela capacitância temos uma equação de estado para $v_{capacitor}$$v_{capacitor}$.

Por exemplo, para o circuito abaixo encontre um modelo no espaço de estados. A entrada seria $i_a$$i_a$ e a saída $e_2$$e_2$:

Existem 3 elementos de armazenamento de energia, por isso são esperadas 3 equações de estado.

Tentaremos escolher $i_{L1}$$i_{L1}$ e $i_{L2}$$i_{L2}$ como variáveis de estado.

Agora necessitamos equações associadas com suas derivadas.

A tensão através do indutor $L_2$$L_2$ é $e_1$$e_1$ (que é uma das nossas variáveis de estado):

$L_2{\displaystyle \frac{d{i}_{L2}}{dt}}=e_1$$L_2 \dfrac{d\,i_{L2}}{dt}=e_1$

portanto, nossa primeira equação de variável de estado acaba sendo:

${\displaystyle \frac{d{i}_{L2}}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{L_2}}{e}_1$$\dfrac{d\,i_{L2}}{dt} = \dfrac{1}{L_2}e_1$

Se somarmos as correntes no nó n1, otemos:

$i_a-i_{L2}-i_{C1}-i_{L1}=0$$i_a - i_{L2} -i_{C1} - i_{L1} = 0$

Esta equação relaciona nossa entrada $i_a$$i_a$ e 2 variáveis de estado ($i_{L2}$$i_{L2}$ e $i_{L1}$$i_{L1}$) e a corrente através do capacitor. Então a partir disto podemos obter a segunda equação de estado:

$i_{C1}=C_1{\displaystyle \frac{d{e}_1}{dt}}=i_a-i_{L2}-i_{L1}$$i_{C1} = C_1 \dfrac{d\,e_1}{dt} = i_a - i_{L2} - i_{L1}$

${\displaystyle \frac{d{e}_1}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{C}}(i_a-i_{L2}-i_{L1})$$\dfrac{d\,e_1}{dt} = \dfrac{1}{C} \left( i_a - i_{L2} - i_{L1} \right)$

Nossa terceira e última equação de estado é obtida com a equação para a tensão em $L_1$$L_1$ (que é $e_2$$e_2$) em termos das nossas outras variáveis de estado:

$e_2=L_1{\displaystyle \frac{d{i}_{L1}}{dt}}=e_1-R{i}_{L1}$$e_2 = L_1 \dfrac{d\,i_{L1}}{dt} = e_1 - R\,i_{L1}$

${\displaystyle \frac{d{i}_{L1}}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{L_1}}(e_1-R{i}_{L1})$$\dfrac{d\,i_{L1}}{dt} = \dfrac{1}{L_1}\left( e_1 - R\,i_{L1}\right)$

também precisamos de uma equação para a saída:

$e_2=e_1-R{i}_{L1}$$e_2 = e_1 - R\,i_{L1}$

assim, nossa representação no espaço de estados torna-se:

e temos então:

Fernando Passold, em 15/09/2026