Série de Fourier

Questões

É possível representar qualquer sinal periódico como uma soma infinita de senos e cossenos em diferentes frequências?

Sim.

Exemplo: Síntese da Onda Quadrada.

Usando Octave/Matlab vamos simular algumas formas de onda, começando por uma simples senóide, que oscila a digamos 100 Hz. Vamos tentar mostrar 2 ciclos deste sinal e supor que oscila até 2 Volts de pico:

>> f=100;
>> T=1/100 % período da onda
T =
         0.01
>> t_fim=2*T % tempo final simulação
t_fim =
         0.02
>> t=0:T/100:t_fim; % criando vetor tempo, 100 amostras/ciclo
>> y=2*sin(2*pi*f*t);
>> plot(t,y)
>> grid

Até este ponto você deve ter obtido algo como:

O que acontece se fizermos isto?

• $y(t)=2\sin \left(2\pi ft\right)+2{\displaystyle \frac{1}{3}}\sin \left(2\pi 3ft\right)+1{\displaystyle \frac{1}{5}}\sin \left(2\pi 5ft\right)+2{\displaystyle \frac{1}{7}}\sin \left(2\pi 7ft\right)$$y(t)=2\sin(2\pi f t)+2\dfrac{1}{3}\sin(2\pi 3ft)+ 1\dfrac{1}{5}\sin(2\pi 5ft)+2\dfrac{1}{7}\sin(2\pi 7ft)$

Testando:

• Um detalhe: para deixar o processo mais “interessante”, vamos sintetizar cada senoide no seu próprio vetor e depois somar os resultado final (amplitude final), a cada instante de tempo. E para este processo ficar mais claro, vamos somar cada nova senóide à senoide original acima e apreciar os resultados obtidos.

Nas linhas acima calculamos cada novo vetor, cada um associado com um novo componente de frequência (mais tarde, vamos descobrir que estas são as “harmônica” do sinal).

Vamos plotar o gráfico, um de cada vez e observar os resultados. Mas antes de realizar isto, vamos “salvar” o vetor original obtido na primeira curva, na variável y1:

>> y1=y; % cópia do vetor da primeira senóide (primeira harmônica)

E agora vamos compor o sinal, passo à passo:

$y(t)=y_1(t)+y_3(t)$$y(t)=y_1(t)+y_3(t)$

$y_3(t)=2{\displaystyle \frac{1}{3}}\sin \left(2\pi 3f_{0}t\right)$$y_3(t)=2\dfrac{1}{3}\sin(2\pi 3f_0 t)$

>> y3=2*(1/3)*sin(2*pi*3*f*t);
>> y=y1+y3; % começando a somar as harmônicas
>> figure; plot(t,y1,'--', t,y,'b-')
>> grid

Deve ter sido obtido um gráfico como:

Mas vamos continuar o processo:

$y(t)=y_1(t)+y_3(t)+y_5(t)$$y(t)=y_1(t)+y_3(t)+y_5(t)$

$y_5(t)=2{\displaystyle \frac{1}{5}}\sin \left(2\pi 5f_{0}t\right)$$y_5(t)=2\dfrac{1}{5}\sin(2\pi 5f_0 t)$

>> y5=2*(1/5)*sin(2*pi*5*f*t);
>> y=y1+y3+y5;
>> figure; plot(t,y1,'--', t,y,'b-', t,y5,'m:')
>> grid

Agora deve ter sido obtido algo como:

Note que a pequena onda em magenta (3a-curva do comando plot), apenas mostra o componente da 5a-harmônica da onda (ou seja, que ocorre numa frequência $5\times$$5\times$ maior que a frequência de base do nosso sinal de entrada, que oscila à 100 Hz; A 5a-harmônica osicla à $5\times 100=500$$5\times 100=500$ Hz).

Por fim, vamos acrescentar a nossa 7a-harmônica:

$y(t)=y_1(t)+y_3(t)+y_5(t)+y_7(t)$$y(t)=y_1(t)+y_3(t)+y_5(t)+y_7(t)$

$y_7(t)=2{\displaystyle \frac{1}{7}}\sin \left(2\pi 7ft\right)$$y_7(t)=2\dfrac{1}{7}\sin(2\pi 7ft)$

>> y7=2*(1/7)*sin(2*pi*7*f*t);
>> y=y1+y3+y5+y7;
>> figure; plot(t,y1,'--', t,y,'b-', t,y7,'m:')
>> grid

Deve ter sido obtido algo como:

Obs.: Novamente, a 3a-onda (curva em magenta), consta no gráfico apenas para ilustrar a componente associado à 7a-harmônica deste sinal.

Suponho que você já percebeu o que está acontecendo aqui.

Obviamente podemos prosseguir este processo de ir acrescentando novas harmônicas à este sinal e ir observando o que ocorre.

“Apressando” (e animando) este processo, podemos obter algo como:

Conclusões

Comece a perceber que onda periódica qualquer pode ser sintetizada/decomposta em várias ondas senoidais (eventualmente cada uma acompanhada ainda de uma defasagem) e assim acabar obtendo uma réplica do sinal original.

Na realidade, Jean-Baptiste Joseph Fourier (um matemático e físico), descobriu isto em 1807.

Mais especificamente, o Sr. Fourier descobriu que podemos aproximar qualquer sinal período na equação abaixo:

$\boxed{{\displaystyle y(t)=a_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cdot \cos (n\cdot {\omega }_{0}t)+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\cdot \sin (n\cdot {\omega }_{0}t)}}}}$$\boxed{y(t)=a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \cos \left( n \cdot \omega_0 t \right) + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \cdot \sin \left( n \cdot \omega_0 t \right)} \qquad$ (1)

Onde:

$a_0={\displaystyle \frac{1}{T}}{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt=}$$a_0=\dfrac{1}{T} \displaystyle\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)dt=$ valor médio de $f(t)$$f(t)$ (ou nível DC do sinal);

Note que:

$a_0={\displaystyle \frac{\text{Área dentro do período T}}{\text{período T}}}$$a_0=\dfrac{\text{Área dentro do período T}}{\text{período T}}$.

e:

$a_n={\displaystyle \frac{2}{T}}{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cdot \cos (n\cdot {\omega }_{0}t)dt,n>0}$$a_n= \dfrac{2}{T} \displaystyle\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot \cos \left( n \cdot \omega_0 t \right) \, dt, \quad n>0$

$b_n={\displaystyle \frac{2}{T}}{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cdot \sin (n\cdot {\omega }_{0}t)dt,n>0}$$b_n= \dfrac{2}{T} \displaystyle\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot \sin \left( n \cdot \omega_0 t \right) \, dt, \quad n>0$

onde $n=$$n=$ número da harmônica (múltiplo da frequência de base, a frequência fundamental do sinal), ${\omega }_0=$$\omega_0=$ frequência fundamental do sinal (em rad/s).

Lembrando da identidade trigonométrica:

$A\cos \left(\theta \right)+B\sin \left(\theta \right)=C\sin (\theta +\varphi )$$A\cos(\theta)+B\sin(\theta)=C\sin(\theta+\phi)$

Onde: $C=\sqrt{A^2+B^2}$$C=\sqrt{A^2+B^2}$ e $\varphi =\arctan \left(B/A\right)$$\phi=\arctan\left( B/A \right)$.

notamos que eq. (1) acima pode ser re-escrita como:

$\boxed{{\displaystyle y(t)=a_0+{\displaystyle \sum _{k=1}^n\sin (c_n+{\varphi }_n)}}}$$\boxed{y(t)=a_0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sin(c_n + \phi_n)}\qquad$ (2)

Onde:

$c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$$c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$

${\varphi }_n=-{\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}\right)$$\phi_n=-\tan^{-1}\left( \dfrac{b_n}{a_n} \right)$

No caso da nossa onda quadrada:

• sintetizamos $n$$n$ até a 7a-harmônica apenas (e sim, teríamos que ter sintetizado muito mais harmônicas para aprooximar melhor o sinal composto final da onda quadrada)
• Frequência fundamental $f_0=$$f_0=$ 100 Hz, ou ${\omega }_0=2\pi f_o$$\omega_0=2\pi f_o$ (rad/s)

E claro, não calculamos exatamente os termos $a_0$$a_0$, nem $a_n$$a_n$, nem $b_n$$b_n$. O cálculo exato aparece em Série de Fourier.

Caso da Onda Quadrada

Mas voltando a nossa onda quadrada, note mais detalhes:

• Sintetizamos a nossa onda quadrada da 1a até a 7a-harmônica, sem nos preocuparmos muito com a ampltudade de cada senóide. Fizemos simplesmente algo como:

  $b_n=A{\displaystyle \frac{1}{n}}\sin \left(2\pi nft\right)$$b_n=A\dfrac{1}{n}\sin(2\pi nft)$

  onde $A=$$A=$ amplitude desejada para a onda original (2 Volts de pico)

  Se tivemos aplicado realmente as equações estipuladas para a Série de Fourier, iríamos perxceber que na realidade:

  $a_0=0$$a_0=0$ (nível DC nulo, 0 Volts);

  $a_n=0$$a_n=0$ (não existem componentes para os cossenos);

  $b_n={\displaystyle \frac{4A}{\pi n}}$$b_n=\dfrac{4A}{\pi n}$

  $c_n={\displaystyle \frac{4A}{n\pi }}$$c_n=\dfrac{4A}{n\pi}$

  ${\varphi }_n=0$$\phi_n=0$ (rad)

  onde $A=$$A=$ amplitude de pico do sinal original.

  Então, sim, nos cálculos acima usados para gerar a onda quadrada para efeitos de simulação, faltaria acrescentar (multiplicar) o termo $4/\pi$$4/\pi$ aos componentes do seno.

  Foi considerado:

  $c_n\approx 2{\displaystyle \frac{1}{n}}$$c_n \approx 2\dfrac{1}{n}$,

  quando, deveria ter sido calculado exatamente:

  $c_n=2{\displaystyle \frac{4}{\pi }}{\displaystyle \frac{1}{n}}=2(1,2732395447){\displaystyle \frac{1}{n}}$$c_n=2\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{n}=2(1,2732395447)\dfrac{1}{n}$

  um erro de:

  ${\displaystyle \frac{4}{\pi }}=$$\dfrac{4}{\pi}=$ 1,2732395447.

  Se este valor “extra” houvessido sido considerado nas simulações realizadas, veríamos a onda quadrada oscilando entre $[-2.0,+2.0]$$[-2.0, +2.0]$ Volts.

  E se quiséssemos imitar uma onda quadrada tipicamente usada em sitemas digitais (usando tecnologia/padrão TTL), teríamos que fazer:

  $a_0=$$a_0=$ 2,5 Volts (nível DC do sinal)

  $c_n=2,5{\displaystyle \frac{4}{\pi }}{\displaystyle \frac{1}{n}}=3,1831{\displaystyle \frac{1}{n}}$$c_n=2,5\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{n}=3,1831\dfrac{1}{n}$

Mais exemplos com Onda Quadrada

Mais exemplos sobre síntese da Onda Quadrada usando Série de Fourier: ver aqui e [aqui]. O primeiro link mostra o que acontece à medida que aumentamos o número de harmônicas:

A idéia é tender para algo como:

Obs.: A figura acima mostra a recomposição de onda quadrada oscilando na frequência de 349,23 Hz (notal musical Fá na 4a-oitava, $F4$$F4$; 30a-tecla de um piano de 88 teclas; 5 semitons abaixo da frequência do Lá (440 HZ); esta última frequência é normalmente a usada para afinar instrumentos musicais). Esta onda foi sintetizada até sua 15a-harmônica ($f_0=349,23$$f_0=349,23$, $f_{15}\approx 5238,5$$f_{15} \approx 5238,5$, $c_{15}=0,21221$$c_{15}=0,21221$).

Ou de uma forma animada:

TDE1: Sintetize uma onda quadrada oscilando à 1 KHz, tipicamente usada em sistemas digitais mas: a) até a 5a-harmônica, b) até à 11a-harmônica; c) considerando até a 25a-harmônica.

Espectro de um Sinal

Mas note outro impacto interessante da Série de Fourier: podemos ter uma idéia de como é o espectro de certo sinal.

No caso específico da onda quadrada, se normalizarmos os componentes da onda (termos $c_n$$c_n$) em relação à amplitude do sinal original, e plotarmos um gráfico relacionando $Frequencias\times Ampliteudes$$Frequencias \times Ampliteudes$, iríamos obter um gráfico como:

Obs.: neste caso, $f_0=$$f_0=$ 10 Hz.

Note o decaimento das amplitudes das harmônicas a medida que aumenta a sua frequência. No caso específico da onda quadrada, note que a mesma só possui harmônicas ímpares.

Este gráfico quase seria o que chamamos de espectro completo de certo sinal, com excessão de que estaria faltando mostrar a “fase” (ou defasagem) de cada componente espectral, à medida que a frequência aumenta. Seriam os componentes ${\varphi }_n$$\phi_n$ na eq. (2). No caso específico da onda quadrada, a defasagem é constante (igual em todas as frequências) e nula (${\varphi }_n=0$$\phi_n=0$).

De forma animada:

Utilidade da Série de Fourier

Exemplos:

1. Perceber “riqueza” de um sinal, isto é, quantas e como são suas harmônicas.

2. Prever distorção harmônica em equipamentos de medição ou harmônicas (indesejadas) geradas por fontes chaveadas:

   

   Espectro deste sinal:

   

3. Entender que tipo de filtro deveríamos usar para separar informação útil $\times$$\times$ informação com ruído:

   Gráfico de um sinal de ECG "bruto":

   

   Espectro deste sinal:

   

4. Prever comportamento de um filtro:

   

Fim.

Fernando Passold, em 07/10/2026