Cálculo de Limites

Suponha que você tivesse que resolver isto:

Cursor_e_Caixas_de_Entrada

Aprendendo (ou tentando aprender) com DeepSeek (https://chat.deepseek.com).

📈 Gráficos e 📈 mais gráficos também podem ajudar.

Obs.: você têm que fazer seu cadastro neste site na primeira vez para poder usar, usando teu email. Instalar o app no celular e fazer o registro pelo celular parece ser bem mais rápudo que pelo computador...

Primeiro: Resolvendo por partes

A pergunta: vamos tentar resolver por partes...

Me ajude a resolver este limite: $\lim_{x \to 1} |2x - 1|$

Esta parte entre $ indica expressão matemática, que o DeepSeek entendeu direitinho. Usa notção LaTeX (a mesma que editores Markdown que entende LaTeX)., Este pedaço entre $ rende:

$\lim_{x \to 1} |2x - 1|$

Obs: Este jeito de entrar com a equação segue formato LaTeX, que tu pode tentar adaptar (se precisar) usando o programa on-line:

https://editor.codecogs.com (parece o editor de equações do Word, gera a expressão LaTeX);
https://www.latex4technics.com (faz o mesma coisa que o de cima, só um jeito diferente);
https://csrgxtu.github.io/2015/03/20/Writing-Mathematic-Fomulars-in-Markdown/ <-- este site só se tu faz questão de querer enteder este "código LaTeX". Os outros 2 antes, já geram uma expressão qualquer.

Pode ser ativado o DeepThink (R1) que é uma opção que explica como esta "IA" "raciocina". O único problema é que ele explica como "raciocina" mas em inglês (clique em "▶︎" para abrir os detalhes).

::Resposta do DeepThink (R1) original em inglês.

Okay, so I need to find the limit of |2x - 1| as x approaches 1. Hmm, let's start by recalling what a limit is. A limit is about what the function approaches as x gets closer to a certain value, in this case, 1. Even if the function isn't defined exactly at that point, we just care about the behavior around it. But here, the function inside the absolute value is 2x - 1. Since absolute value functions are continuous everywhere, maybe this is straightforward?

First, let me check if the function is defined at x = 1. If I plug in x = 1 directly into |2x - 1|, that would be |2*1 - 1| = |2 - 1| = |1| = 1. So the function is defined at x = 1, and its value is 1. Since the function is continuous there—because absolute value functions are continuous and linear functions inside are also continuous—the limit should just be the value of the function at that point. Wait, but let me make sure I'm not missing something with the absolute value.

Let me think. The absolute value function |2x - 1| is a composition of two functions: the linear function 2x - 1 and the absolute value function. Both of these are continuous everywhere. The composition of continuous functions is also continuous. Therefore, the limit as x approaches 1 should just be the value of the function at x = 1. So, |2*1 - 1| = 1. Therefore, the limit is 1.

But maybe I should approach this more methodically. Let's recall the formal definition of a limit. The limit of f(x) as x approaches a is L if for every ε > 0, there exists a δ > 0 such that whenever 0 < |x - a| < δ, then |f(x) - L| < ε. In this case, a is 1, and f(x) is |2x - 1|. So, if I want to show that the limit is 1, I need to show that for any ε > 0, I can find a δ such that if x is within δ of 1 (but not equal to 1), then $|2x - 1| - 1 | < ε$.

Let's work that out. Let's set up the inequality:

|2x - 1| - 1 | < ε

This seems a bit complicated because of the double absolute value. Maybe I can simplify this. Let's let y = 2x - 1. Then, the expression becomes | |y| - 1 | < ε. But maybe there is another way. Alternatively, consider that |2x - 1| is continuous, so we can just plug in x = 1. But perhaps I need to verify continuity here.

Alternatively, since the absolute value function is continuous, the limit can be moved inside the absolute value. So:

lim_{x→1} |2x - 1| = | lim_{x→1} (2x - 1) | = |2*1 - 1| = |1| = 1

Therefore, the limit is 1. That seems straightforward.

Wait, but let me make sure that this is valid. The rule is that if a function is continuous at a point, then the limit can pass through the function. Since absolute value is continuous everywhere, this is valid. So yes, that is correct.

Alternatively, maybe approaching from the left and the right. Since x approaches 1, lets check the left-hand limit and the right-hand limit.

For the left-hand limit, as x approaches 1 from below (x → 1⁻), lets take values slightly less than 1, say 0.999. Then 2x - 1 is 2*0.999 - 1 = 1.998 - 1 = 0.998, and the absolute value is 0.998. As x approaches 1, this approaches |2*1 -1| = 1.

Similarly, approaching from the right, x → 1⁺, take x = 1.001. Then 2x -1 = 2.002 -1 = 1.002, absolute value is 1.002. As x approaches 1, this also approaches 1. Therefore, both left and right limits exist and are equal to 1. Therefore, the overall limit is 1

So, multiple methods confirm that the limit is 1. Therefore, the answer should be 1.

But just to double-check, maybe there is a trick here? Absolute value functions can sometimes have corners, but at x = 1, the expression inside the absolute value is 1, which is positive. So near x = 1, 2x -1 is near 1, which is positive. Therefore, the absolute value does not actually affect the expression near x = 1 because 2x -1 is positive there. Therefore, for x near 1, |2x -1| = 2x -1, which is a linear function, so the limit is just 2*1 -1 = 1.

Therefore, even if we consider that near x =1, the expression inside the absolute value is positive, so the absolute value can be removed without changing the sign, and then the limit is straightforward.

Yeah, I think that is solid. All approaches lead to the same conclusion. So the answer is 1.

Final Answer

The limit is \boxed{1}

To solve the limit: \lim_{x \to 1} |2x - 1|, we start by noting that the absolute value function is continuous everywhere. Therefore, the limit can be evaluated by substituting ,x = 1, directly into the expression inside the absolute value.

First, we substitute x = 1 into the linear function inside the absolute value:

|2(1) - 1| = |2 - 1| = |1| = 1

To confirm this result, we consider the continuity of the composition of functions. The linear function $2x - 1$ is continuous everywhere, and the absolute value function is also continuous everywhere. Therefore, the composition $|2x - 1|$ is continuous at $x = 1$. This continuity allows us to interchange the limit and the absolute value:

lim_{x \to 1} |2x - 1| = | \lim_{x \to 1} (2x - 1) | = |2(1) - 1| = |1| = 1

Additionally, we check the left-hand and right-hand limits. For $x$ approaching 1 from the left ($x \to 1^-$) and the right ($x \to 1^+$), the expression inside the absolute value $2x - 1$ approaches 1, which is positive. Therefore, the absolute value does not affect the sign, and both limits are:

lim_{x \to 1^-} |2x - 1| = \lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 1

\lim_{x \to 1^+} |2x - 1| = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1$

Since both the left-hand and right-hand limits are equal to 1, the overall limit is 1.

Thus, the final answer is 1.

Você pode ver a tradução do "raciocínio" para português clicando sobre o "▶︎" em Detalhes (o Chrome, Firefox e o Edge permite traduzir conteúdo da página WEB de inglês para portuuês, eventualmente instalando ou ativando alguma extensão).

::Tradução do "racioncío" para o português

Certo, então preciso encontrar o limite de |2x - 1| quando x se aproxima de 1. Hmm, vamos começar relembrando o que é um limite. Um limite diz respeito a para onde a função se aproxima à medida que x se aproxima de um determinado valor, neste caso, 1. Mesmo que a função não esteja definida exatamente nesse ponto, nos importamos apenas com o comportamento em torno dela. Mas aqui, a função dentro do valor absoluto é 2x - 1. Como funções de valor absoluto são contínuas em todos os lugares, talvez isso seja simples?

Primeiro, deixe-me verificar se a função está definida em x = 1. Se eu inserir x = 1 diretamente em |2x - 1|, isso resultaria em |2*1 - 1| = |2 - 1| = |1| = 1. Portanto, a função está definida em x = 1, e seu valor é 1. Como a função é contínua nesse ponto — porque funções de valor absoluto são contínuas e funções lineares internas também são contínuas — o limite deve ser apenas o valor da função nesse ponto. Espere, mas deixe-me ter certeza de que não estou esquecendo nada com o valor absoluto.

Deixe-me pensar. A função de valor absoluto |2x - 1| é uma composição de duas funções: a função linear 2x - 1 e a função de valor absoluto. Ambas são contínuas em todos os lugares. A composição de funções contínuas também é contínua. Portanto, o limite quando x se aproxima de 1 deve ser apenas o valor da função em x = 1. Portanto, |2*1 - 1| = 1. Portanto, o limite é 1.

Mas talvez eu devesse abordar isso de forma mais metódica. Vamos relembrar a definição formal de um limite. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é L se para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que sempre que 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε. Neste caso, a é 1, e f(x) é |2x - 1|. Então, se eu quiser mostrar que o limite é 1, preciso mostrar que para qualquer ε > 0, posso encontrar um δ tal que se x estiver dentro de δ de 1 (mas não igual a 1), então | |2x - 1| - 1 | < ε.

Vamos resolver isso. Vamos montar a desigualdade:

| |2x - 1| - 1 | < ε

Isso parece um pouco complicado por causa do valor absoluto duplo. Talvez eu possa simplificar. Vamos supor que y = 2x - 1. Então, a expressão se torna | |y| - 1 | < ε. Mas talvez haja outra maneira. Alternativamente, considere que |2x - 1| é contínuo, então podemos simplesmente substituir x = 1. Mas talvez eu precise verificar a continuidade aqui.

Alternativamente, como a função de valor absoluto é contínua, o limite pode ser movido para dentro do valor absoluto. Portanto:

lim_{x→1} |2x - 1| = | lim_{x→1} (2x - 1) | = |2*1 - 1| = |1| = 1

Portanto, o limite é 1. Isso parece simples.

Espere, mas deixe-me verificar se isso é válido. A regra é que, se uma função é contínua em um ponto, então o limite pode passar pela função. Como o valor absoluto é contínuo em todos os lugares, isso é válido. Então, sim, está correto.

Alternativamente, talvez aproximando-se da esquerda e da direita. Como x se aproxima de 1, vamos verificar o limite esquerdo e o limite direito.

Para o limite esquerdo, à medida que x se aproxima de 1 por baixo (x → 1⁻), vamos assumir valores ligeiramente menores que 1, digamos 0,999. Então, 2x - 1 é 2*0,999 - 1 = 1,998 - 1 = 0,998, e o valor absoluto é 0,998. À medida que x se aproxima de 1, isso se aproxima de |2*1 -1| = 1.

Da mesma forma, aproximando-se da direita, x → 1⁺, considere x = 1,001. Então, 2x -1 = 2,002 -1 = 1,002, o valor absoluto é 1,002. À medida que x se aproxima de 1, este também se aproxima de 1. Portanto, os limites esquerdo e direito existem e são iguais a 1. Portanto, o limite geral é 1.

Mas só para conferir, talvez haja um truque aqui? Funções de valor absoluto às vezes podem ter vértices, mas em x = 1, a expressão dentro do valor absoluto é 1, que é positivo. Portanto, próximo de x = 1, 2x -1 é próximo de 1, que é positivo. Portanto, o valor absoluto não afeta a expressão próxima de x = 1, porque 2x -1 é positivo ali. Portanto, para x próximo de 1, |2x -1| = 2x -1, que é uma função linear, então o limite é apenas 2*1 -1 = 1.

Portanto, mesmo se considerarmos que próximo de x = 1, a expressão dentro do valor absoluto é positiva, então o valor absoluto pode ser removido sem alterar o sinal, e então o limite é direto.

Sim, acho que está correto. Todas as abordagens levam à mesma conclusão. Então a resposta é 1.

Resposta final

O limite é 1

Resposta final tradicional sem o DeepThink R1 ativado...

$\displaystyle\lim_{x \to 1} |2x-1|,$ $x=1$ diretamente na expressão dentro do valor absoluto.

$x=1$ na função linear dentro do valor absoluto:

$|2(1)-1|=|2-1|=|1|=1$

$2x−1$ $|2x−1|$ $x=1$ . Essa continuidade nos permite trocar o limite e o valor absoluto:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}|2x-1|=\Big|\displaystyle\lim_{x \to 1} (2x-1)\Big|=|2(1)-1|=|1|=1$

$x$ $x \to 1^-$ $x \to 1^+$ $2x-1$ $1$ , que é positivo. Portanto, o valor absoluto não afeta o sinal, e ambos os limites são:

$\displaystyle\lim_{x \to 1^-}|2x - 1| = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 1$

$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} |2x - 1| = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1$

Como os limites do lado esquerdo e direito são iguais a 1, o limite geral é 1.

$\boxed{1}$ .

Mas, Ops..., depois que notei que entrei com a expressão errada.
$\displaystyle\lim_{x \to 0}$ $\displaystyle\lim_{x \to 1}$ . Eu devo ser um tento mesmo. Mas espero que dê para começar a entender.

Se fosse resolver o numerador:

Pergunta feita ao DeepSeek:

Agora me ajude a resolver o limite de: $\lim_{x \to 0} |2x-1| - |2x+1|$

Note: o segmento $\lim_{x \to 0} |2x-1| - |2x+1|$ rende:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} |2x-1| - |2x+1|$

Resposta (em português, desta vez com o DeepThink (R1) "desligado"):

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left( |2x - 1| - |2x + 1| \right)$ , podemos proceder da seguinte maneira:

Passo 1: Avaliar diretamente em (x = 0)

Como as funções dentro dos módulos são contínuas, podemos substituir (x = 0) diretamente:

$|2(0) - 1| - |2(0) + 1| = |-1| - |1| = 1 - 1 = 0.$

Passo 2: Verificar os limites laterais

Para garantir que o limite existe, verificamos os limites laterais quando (x) se aproxima de ( $x \to 0^-$ $x \to 0^+)$ :

$x \to 0^-$ :
- $2x - 1$ $2x$ $-1$ domina).
- $2x + 1$ $2x$ $+1$ $|2x - 1| - |2x + 1| = -(2x - 1) - (2x + 1) = -2x + 1 - 2x - 1 = -4x$ $x \to 0^-$ $-4x \to 0$ .
$x \to 0^+$ :
- $2x - 1$ $2x$ $-1$ domina).
- $2x + 1$ $2x$ $+1$ domina). Portanto:
$|2x - 1| - |2x + 1| = -(2x - 1) - (2x + 1) = -2x + 1 - 2x - 1 = -4x$
$x \to 0^+$ $-4x \to 0$ .

Passo 3: Conclusão

$x = 0$ $0$ .

Resposta final:

$\boxed{0}$

Mas, este não é o jeito de resolver este problema. Existe uma "pegadinha" deste professor de Cálculo? Continue lendo...

Se fosse resolver só o denominador:

Pergunta $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}\right)$ ?

Resposta:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

$x$ $0$ :

$f(x) = \dfrac{1}{x}$ não está definida $x = 0$ $x$ $0$ :

$x \to 0^+$ ):
- $x$ $0$ $x = 0.1, 0.01, 0.001, \dots$ ),
  $\dfrac{1}{x} \text{ torna-se muito grande (tende a $+\infty$)}.$
  $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty.$

$x \to 0^-$ ):
- $x$ $0$ $x = -0.1, -0.01, -0.001, \dots$ ),
  $\dfrac{1}{x} \text{ torna-se muito negativo (tende a $-\infty$)}.$
  $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty.$

Conclusão:

$+\infty$ $-\infty$ à esquerda), $\left( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \right)$ não existe no sentido convencional (não é finito).

Observação sobre infinito:

Em alguns contextos, diz-se que o limite "diverge para infinito", mas tecnicamente, como os sinais são opostos, não há um único limite infinito.

Resposta final:

$\boxed{\text{Nao existe}}$

Notegráfico $\dfrac{1}{x}$ ajuda a entender o que acontece:

descontínua $x=0$ $\left( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \right)$ não existe!

Este gráfico pode ser feito no computador usando a ferramenta oline GeoGebra ou: https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt (é grátis, online, não precisa instalar no computador, só é necessário conexão de internet). No campo resetrvado para entrar com a a função: entre com o comando:


xxxxxxxxxx
1/x

fica algo como:

Nota: você pode ingressar qualquer outra função/expressão neste App.

Este tal de https://www.geogebra.org permite resolver outros problemas matemáticos. Eu usei a opção para gerar gráficos para me mostar um gráfico. Um gráfico ajuda a entender o que está acontencendo.

Resolvendo corretamente o limite da figura:

Cursor_e_Caixas_de_Entrada

Pergunta ao DeepSeek:

E qual seria o limite de: \lim_{x \to 0} -5\left[ \dfrac{|2x-1|-|2x+1|}{x} \right]

Resposta:

Vamos resolver o limite passo a passo:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} -5 \left[ \dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} \right]$

Passo 1: Analisar a expressão dentro do limite

$\dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x}$ $-5$ . Portanto, podemos focar em calcular:

$L = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x}$

$-5$ .

$L$ usando limites laterais

$x$ , precisamos analisar os limites laterais.

$x \to 0^+$ (lado direito)

$x > 0$ pequeno:

$2x - 1 < 0$ $2x \approx 0$ $-1$ $|2x - 1| = - (2x - 1) = -2x + 1$ .
$2x + 1 > 0$ $2x + 1 \approx 1 > 0$ $|2x + 1| = 2x + 1$ .

Portanto:

$|2x - 1| - |2x + 1| = (-2x + 1) - (2x + 1) = -4x$

Assim:

$\dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} = \dfrac{-4x}{x} = -4$

Logo:

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} = -4$

$x \to 0^-$ (lado esquerdo)

$x < 0$ pequeno:

$2x - 1 < 0$ $2x \approx 0$ $-1$ $|2x - 1| = -2x + 1$ .
$2x + 1$ $x$ $x \to 0^-$ $2x + 1$ $x = -0.1$ $2x + 1 = 2(-0,1)+1=-0,2+1=0.8 > 0$ $|2x + 1| = 2x + 1$ .

$x \to 0^+$ :

$|2x - 1| - |2x + 1| = (-2x + 1) - (2x + 1) = -4x$

Assim:

$\dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} = \dfrac{-4x}{x} = -4$

Logo:

$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} = -4$

Passo 3: Conclusão para (L)

Como os limites laterais são iguais:

$L = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} = -4$

$-5$

O limite original é:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} -5 \left[ \dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} \right] = -5 \times L = -5 \times (-4) = 20$

Resposta final:

$\boxed{20}$

Gráficos

Observação: se ainda ficou complicado para entender... tente obter gráficos:

$|2x-1|$ :

grafico1

$x=0$ $f(x)=1$ .

$|2x+1|$ :

grafico2

$x=0$ $f(x)=1$ .

$|2x-1|-|2x+1|$ :

grafico3

$x=0$ , mas, você não resolve aquele limite resolvendo primeiro numerador e depois denominador. Se fizer assim só vai ser mais complicado e inconclusivo.

Você tem que chegar na expressão:

$\dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x} = \dfrac{-4 \cancel{x}}{\cancel{x}} = -4$

$\displaystyle\lim_{x \to 0} -5 \cdot \Big( \text{expressao matematica} \Big)$ $\Big( \; \ldots \; \Big)$ .

Quando você resolve primeiro o que está dentro destes parêntesis $x$ $-4$ . Note: Nem foi necessário calcular o limite!

Este é talvez o segredo desta questão!

gráfico $\dfrac{|2x - 1| - |2x + 1|}{x}$ vai resultar:

grafico4

$x=0$ .

Começando a entender!? 😃

Note que esta expressão:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} -5\left[ \dfrac{|2x-1|-|2x+1|}{x} \right]$

daria o mesmo resultado se fosse pedido:

$y= -5\left[ \dfrac{|2x-1|-|2x+1|}{x} \right]$ $x=0$ ?

Neste caso, a pessoa nem precisa saber lidar com limites!!!

E se fosse:

\lim_{x \to 1} -5\left[ \dfrac{|2x-1|-|2x+1|}{x} \right] \quad \text{?}

ia dar outro resultado.

Só pela figura anterior, perceba:

grafico5

Fim.

Conclusão final

A idéia então talvez seja usar esse tal do https://www.geogebra.org (ou outro) ou https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt para fazer gráficos e usar o https://chat.deepseek.com para ajudar a entender os problemas... Claro, você pode fazer isto quando está sozinho. Ou se quer entender melhor os detalhes de certos cálculos, sugiro fazer gráficos. Quando uma pessoa faz os gráficos (ou o computador faz), as coisas começam a ficar mais fáceis porque dai uma pessoa "enxerga" o que significa uma equação matemática.

Mas recomendo tentar resolver também com a ajuda de monitores e colegas de sala 😳.

Boa sorte.

Cálculo de Limites

Primeiro: Resolvendo por partes

Se fosse resolver o numerador:

Passo 1: Avaliar diretamente em (x = 0)

Passo 2: Verificar os limites laterais

Passo 3: Conclusão

Resposta final:

Se fosse resolver só o denominador:

Comportamento do limite quando x se aproxima de 0:

Conclusão:

Observação sobre infinito:

Resposta final:

Resolvendo corretamente o limite da figura:

Passo 1: Analisar a expressão dentro do limite

Passo 2: Calcular L usando limites laterais

Caso 1: x \to 0^+ (lado direito)

Caso 2: x \to 0^- (lado esquerdo)

Passo 3: Conclusão para (L)

Passo 4: Multiplicar por -5

Resposta final:

Gráficos

Conclusão final

$x$ $0$ :

$L$ usando limites laterais

$x \to 0^+$ (lado direito)

$x \to 0^-$ (lado esquerdo)

$-5$