Filtro Digital Exponencial

Filtro Digital Exponencial

Filtro Passa Baixas

Em várias aplicações é necessário reduzir o impacto do ruído num sinal sendo processado, eliminando componentes de alta frequência (não previstas no espectro original do sinal):

A equação diferencial de um filtro passa-baixas (FPB) de 1a-ordem é dada por:

$\tau_F \cdot \dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t} + y(t) = x(t)$

onde $\tau_F$ corresponde à constante de tempo do filtro. Então:

$f_c = \dfrac{1}{2\pi \; \tau_F} \quad \text{(Hz)}$

Para $\tau_F < 3$ segundos, o filtro pode ser passivo, constituído por um simples circuito RC.

Filtro Passa-Baixas RC

Um simples filtro passa-baixas RC é mostrado na próxima figura:

Para este circuito:

$f_c = \dfrac{1}{2\pi \; R \; C}$

A frequência do filtro deveria esta na faixa: $\omega_{\text{máx}} < \omega_F < \omega_N$ ; onde: $\omega_F=1 / \tau_F$ , $\omega_{\text{máx}}=1/\tau_{\text{máx}}$ e onde $\tau_{\text{máx}}$ corresponde a mair constante de tempo (a dominante) do processo e $\omega_N$ corresponde à frequência do ruído (rad/s). É esperado que $\omega_F < \omega_N$ .

Na prática sugere-se $\tau_F < 0,1 \cdot \tau_{\text{máx}}$ (ou seja, a frequência de corte do filtro fique localizado uma década abaixo da freq. máxima permitida para o sinal de entrada); $\tau_\text{máx}$ corresponde à constante de tempo dominante (maior) do sistema.

A função transferência do filtro seria:

$G(j\omega) = \dfrac{1}{\tau_F \; j \omega + 1}$

Como $s=j\omega$ , teremos:

$G(s)=\dfrac{1}{\tau_F \; s + 1}$

A amplitude fica caracterizada por:

$|G(j\omega)|=\sqrt{ \left( \dfrac{1}{\omega^2 \; \tau_F^2 +1} \right)^2 + \left( \dfrac{-\omega \; \tau_F}{\omega^2 \; \tau_F^2+1}\right)^2}$

$|G(j\omega)|=\sqrt{ \dfrac{( 1+\omega^2\; \tau_F^2)}{(\omega^2 \; \tau_F^2+1 )} }$

$|G(j\omega)|=\dfrac{1}{ \sqrt{\omega^2 \; \tau_F^2 + 1} }$

e a fase é caracterizada por:

$\phi=\angle{G(j\omega)}=\tan^{-1}{(-\omega \; \tau_F)} = - \tan^{-1}{(\omega \; \tau_F)}$

Se $\tau_F=1,0$ (segundo), então: $\omega_F = 1 / \tau_F = 1,0$ (rad/s). A função transferência deste filtro ficaria como:

$G(s)=\dfrac{1}{s+1}$

O que rende o seguinte diagrama de Bode:

>> figure; bode(1, [1 1]); grid

Note que uma redução de 20dB ( $-20$ dB) corresponde a uma atenuação de $1/10=0,1$ na amplitude original do sinal:

>> 20*log10(0.1)
ans =
   -20
>>

Filtro Exponencial Digital

Seja um filtro do tipo:

Uma derivada numérica simples se consegue através de:

$\dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t} \approx \dfrac{y[n]-y[n-1]}{\Delta t}$

Note que se aproxima da equação do filtro analógico de 1a-ordem:

$\tau_F \cdot \dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t} + y(t) = x(t)$

Que resultaria neste caso em:

$\tau_F \cdot \dfrac{(y[n]-y[n-1])}{\Delta t} + y[n] = x[n]$

Trabalhando a equação anterior à fim de isolar $y[n]$ (FPB sobre o sinal $x[k]$ ), teremos:

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\tau_F \; y[n]}{\Delta t} - \dfrac{\tau_F \; y[n-1]}{\Delta t} + y[n] & = & x[n] \\ & & \\ y[n] \left( 1+\dfrac{\tau_F}{\Delta t} \right) &=& x[n] + \dfrac{\tau_F \; y[n-1]}{\Delta t} \\ & & \\ y[n] & = & \dfrac{ \dfrac{x[n]}{1} }{ 1 + \dfrac{\tau_f}{\Delta t} } + \dfrac{ \dfrac{\tau_F \; y[n-1]}{\Delta t} }{ 1 + \dfrac{\tau_F}{\Delta t} }\\ & & \\ y[n] & = & \dfrac{ \dfrac{x[n]}{1} }{ 1 + \dfrac{\Delta t + \tau_F}{\Delta t} } + \dfrac{ \dfrac{\tau_F \; y[n-1]}{\Delta t} }{ \dfrac{\Delta t + \tau_F}{\Delta t}} \\ & & \\ y[n] & = & \left( \dfrac{\Delta t}{\tau_F + \Delta t} \right) \cdot x[n] + \left( \dfrac{\tau_F}{\tau_F + \Delta t} \right) \cdot y[n-1] \\ \end{array}$

Podemos criar a variável $\alpha$ tal que:

$\alpha = \dfrac{\Delta t}{\tau_F + \Delta t} = \dfrac{1}{ \dfrac{\tau_F}{\Delta t} + 1}$

e então:

$(1-\alpha) = 1 - \dfrac{1}{ \dfrac{\tau_F}{\Delta t} + 1 } = \dfrac{\tau_F}{\tau_F + \Delta t}$

E assim chegamos a um formato mais simples de equação para o filtro digital exponencial de 1a-ordem:

$y[n] = \alpha \; x[n] + (1 - \alpha) \; y[n-1]$

onde: $0 < \alpha < 1$ . Tipicamente é empregado o valor $\alpha = 0,1$ .

Note que:
Se $\alpha = 1$	$\rightarrow$ não existe filtragem	$\rightarrow \quad y[n] = x[n]$ .
Se $\alpha = 0$	$\rightarrow$ Sinal original é ignorado	$\rightarrow \quad y[n] = 0$ .

Filtro exponencial duplo (ou de 2a-ordem)

Pode ser formado pelo cascateamento de 2 filtros de 1a-ordem:

Derivando as equações, teremos:

$\begin{array}{rcl} \bar{y}[n] & = & \gamma \; y[n] + (1 - \gamma) \; \bar{y}[n-1] \\ & & \\ \bar{y}[n] & = & \gamma \; \alpha \; x[n] + \gamma (1 - \alpha) y[n-1] + (1 - \gamma) \; \bar{y}[n-1] \\ & & \\ \bar{y}[n-1] & = & \gamma \; y[n-1] + (1 - \gamma) \; y[n-2] \\ & & \\ y[n-1] & = & \dfrac{1}{\gamma} \; \bar{y}[n-1] - \dfrac{(1 - \gamma)}{\gamma} \; \bar{y}[n-2]\\ & & \\ \bar{y}[n] & = & \gamma \; \alpha \; x[n] + (2 - \gamma - \alpha) \; \bar{y}[n-1] - (1-\alpha)(1-\gamma)\; \bar{y}[n-2] \end{array}$

Se $\gamma = \alpha$ , este filtro resulta em:

$\bar{y}[n] = \alpha^2 \; x[n] + 2(1-\alpha)\; \bar{y}[n-1] - (1-\alpha)^2 \; \bar{y}[n-2]$

Note que existe uma vantagem deste filtro sobre o anterior de 1a-ordem: este filtro atenua mais fortemente ruídos de alta frequencia, especialmetne se $\gamma = \alpha$ .

Este filtro resulta em algo semelhante à:

$G(s) = \dfrac{1}{(s+1)^2}$

Cujo diagrama de Bode resulta:

>> figure; bode(1, conv( [1 1], [1 1] ) ); grid

Note: corte de 40 db/déc (uma atenuação de $1/100$ sobre o sinal de entrada)!

>> 20*log10(0.01/1)
ans =
   -40

Filtro de Média Móvel

Neste caso se aplica simplesmente a equação:

$y[n] = \dfrac{1}{J} \; \sum_{i=n-J+1}^{n}{x[i]}$

que representa a média dos últimos $J$ pontos sobre o sinal de entrada $x[n]$

Esta equação pode ser reescrita como:

$y[n-1] = \dfrac{1}{J} \; \sum_{i=n-J}^{n-1}{}x[i]$

mesclando as 2 últimas equações obtemos:

$y[n] = y[n-1] + \dfrac{1}{J} \; \left( x[n] - x[n-J] \right)$ que resulta num comportamento semelhante à um filtro passa-baixas, servindo também para eliminar componentes (ruídos) de alto frequência.

Exemplo de Aplicação

Os 3 filtros anteriores poderiam ser aplicados sobre este tipo de sinal:

Trata-se de uma onda quadrada (sinal esperado) oscilando entre 0,0 e 1,0 Volts à frequência de $f=1/3$ , acompanhado de um ruído (senoide) oscilando na frequência de 9 Hz com amplitude de 0,25 Vp.

Segue simulação da aplicação de alguns filtros sobre este sinal:

Filtro analógico de 1a-ordem com $\tau_F = 0,1$ minutos;
Filtro analógico de 1a-ordem com $\tau_F = 0,4$ minutos;
Filtro digital exponencial de 1a-ordem com $\tau_F = 0,1$ minutos; e usando período de amostragem $T = 0,05$ minutos;
Filtro digital exponencial de 1a-ordem com $\tau_F = 0,1$ minutos; e usando período de amostragem $T = 0,1$ minutos;
Filtro de média móvel com $J=3$ (ainda se deve perceber ruído);
Filtro de média móvel com $J=7$ (o ruído praticamente some).

Alguns resultados que poderiam ser obtidos:

Ref.: Process Dynamics and Control 4th Edição, por Dale E. Seborg (Author), Thomas F. Edgar (Author), Duncan A. Mellichamp (Author), Francis J. Doyle III (Author), Wiley; 4ª edição (13 setembro 2016), 512 páginas, ISBN-10: 1119285917, ISBN-13 : 978-1119285915.

Segue script adotado no MATLAB que gerou figura com ruido:

% Onda quadrada ruidosa
% Fernando Passold, 24/04/2018
T1=1/(0.05*60) % 1o-periodo de amostragem
T2=1/(0.1*60)   % 2o-periodo de amostragem
% Simulando os primeiros 2 ciclos de uma onda
% quadrada, f = 1/3 (Hz)
% amostrar este sinal 20 x f
disp('Onda quadrada oscilando à:')
f = 1/3
fs = 20*20;
T_square = 1/f;
T = 1/fs;
k=0:T:2*T_square;
u=length(k); % qtadade de amostras geradas
square=zeros(1, u);
for i=1:u
    t = k( i );    % calculando tempo real em segundos
    if ( t > T_square/2 )&&( t < T_square)
        square(1, i) = 1;
    end
    if ( t > (T_square + T_square/2) )&&( t < 2*T_square)
        square(1, i) = 1;
    end
end
% Sobrepondo a senoide (ruido) de 0,25 Vp, freq = 9 Hz
f_N = 9;
T_N = 1/f_N;
for i=1:u
    t = k( i );
    noise( i ) = 0.25*sin(2*pi*f_N*t);
    signal( i ) = square( i ) + noise( i );
end
plot(k, signal,'m-', k, square)
legend('Sinal com ruido','Sinal sem ruido')
grid

Fernando Passold, Abril/2018