Exercícos Sistemas de Numeração

1. Necessita-se digitalizar um sinal com precisão (erro) de 0,1%. Quantos bits (de quantização) são necessários?

Resposta:

$Erro={\displaystyle \frac{Erro\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}}={\displaystyle \frac{0,1}{100}}=0,001$$Erro=\dfrac{Erro\%}{100\%}=\dfrac{0,1}{100}=0,001$

$Erro={\displaystyle \frac{Res}{2}}$$Erro=\dfrac{Res}{2}$

$Res=Erro\cdot 2=0,001\cdot 2=0,002$$Res=Erro \cdot 2 = 0,001 \cdot 2 = 0,002$

$Res={\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$Res=\dfrac{1}{2^n}$; onde $n=$$n=$número de bit (bits de quantização)

$2^n={\displaystyle \frac{1}{Res}}\therefore n={\log }_2\left({\displaystyle \frac{1}{Res}}\right)$$2^n=\dfrac{1}{Res} \quad \therefore \quad n = \log_{2}\left( \dfrac{1}{Res}\right)$

$n={\log }_2\left({\displaystyle \frac{1}{0,002}}\right)={\log }_2(500)$$n=\log_{2}\left( \dfrac{1}{0,002} \right)=\log_{2}(500)$

n = 8,9658

Arrendondando para cima $\Rightarrow$$\Rightarrow$ n = 9 bits

Verificação:

Com 8 bits, temos:

$Res={\displaystyle \frac{1}{2^8}}={\displaystyle \frac{1}{256}}=0,00390625$$Res=\dfrac{1}{2^8}=\dfrac{1}{256}=0,00390625$

$Res\mathrm{\%}=Res\cdot 100\mathrm{\%}=0,390625\mathrm{\%}$$Res\%=Res\cdot 100\%=0,390625\%$

$Erro\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{Res\mathrm{\%}}{2}}=0,1953125\Rightarrow$$Erro\%=\dfrac{Res\%}{2}=0,1953125 \quad \Rightarrow \quad$ ultrapassamos o erro máximo requirido.

Com 9 bits de quantização, obtemos:

$Res={\displaystyle \frac{1}{2^9}}={\displaystyle \frac{1}{512}}=0,001953125$$Res=\dfrac{1}{2^9}=\dfrac{1}{512}=0,001953125$

$Res\mathrm{\%}=Res\cdot 100\mathrm{\%}=0,1953125\mathrm{\%}$$Res\%=Res \cdot 100\%=0,1953125 \%$

$Erro\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{Res\mathrm{\%}}{2}}={\displaystyle \frac{0,1953125}{2}}=0,09765625\mathrm{\%}$$Erro\%=\dfrac{Res\%}{2}=\dfrac{0,1953125}{2}=0,09765625\%$

Agora ficamos com um erro abaixo do máximo exigido.

2. Em 1978, o Apple II, um mini-computador de 8-bits, era capaz de endereçar até 64 Kbytes de memória. Qual a largura do seu barramento de endereços e qual seu último endereço em hexadecimal? E se a sua memória fosse organizada em blocos de 16 Kbytes?

Resposta:

Lembrando de prefixos e notações de grandezas no mundo digital:

• "K" = Kilo $=2^{10}=1024$$=2^{10}=1024$ Posições;
• "M" = Mega = 1K $\cdot$$\cdot$ 1K $=2^{1}0\cdot 2^{1}0=2^{20}=1.048.576$$=2^10 \cdot 2^10 = 2^{20}=1.048.576$ Posições;
• "G" = Giga $=2^{30}=$$=2^{30}=$ 1.073.741.824 posições;
• "T" = Terra = $2^{40}$$2^{40}$ Posições.

Então neste caso: 64 Kbytes, sigifica que este coputador era capaz de endereçar até $64\cdot 2^{10}=$$64\cdot 2^{10}=$ 65.536 posições de memória, onde cada posição armazena 1 byte (8-bits).

Para endereçar esta quantidade de memória, se faz necessário um barramento de endereços constituído por:

$65.536=64{\cdot }^{10}=2^6\cdot 2^{10}=2^{16}$$65.536 = 64 \cdot^{10} = 2^{6} \cdot 2^{10} = 2^{16}$, ou seja, 16 linhas de endereçamento, iniciando de $A_0$$A_0$ até $A_{15}$$A_{15}$

O primeiro endereço de memória, corresponde à posição: 0.

O último endereço (posição) de memória, corresponde à $64K-1=65.536-1=65.535$$64K -1=65.536-1=65.535$, em hexadecimal:

Com $64K=2^6\cdot 2^{10}=2^{16}\Rightarrow$$64K=2^{6}\cdot 2^{10}=2^{16} \quad \Rightarrow \quad$ Bit da posição 16 ativado. Lembrandoque cada 4-bits corresponde à um algarirmo hexadecimal, teremos:

$\overline{)\begin{array}{cccccccccccccccccl}{A}_{16}& A_{15}& A_{14}& A_{13}& A_{12}& A_{11}& A_{10}& A_9& A_8& A_7& A_6& A_5& A_4& A_3& A_2& A_1& A_0& \text{Endereço}\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \text{10000H}\end{array}}$$\begin{array}{|c|c:c:c:c|c:c:c:c|c:c:c:c|c:c:c:c|l} A_{16} & A_{15} & A_{14} & A_{13} & A_{12} & A_{11} & A_{10} & A_9 & A_8 & A_7 & A_6 & A_5 & A_4 & A_3 & A_2 & A_1 & A_0 & \text{Endereço}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \text{10000H} \\ \hline \end{array}$

Mas note, o equipamento não possui 17 linhas de endereçamento e sim 16, então quando o mesmo está endereçando sua última posição de memória, ocorre o equivalente à $64K-1$$64K-1$, ou:

$\overline{)\begin{array}{ccccccccccccccccl}{A}_{15}& A_{14}& A_{13}& A_{12}& A_{11}& A_{10}& A_9& A_8& A_7& A_6& A_5& A_4& A_3& A_2& A_1& A_0& \text{Endereço}\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& \text{FFFFH}\end{array}}$$\begin{array}{|c:c:c:c|c:c:c:c|c:c:c:c|c:c:c:c|l} A_{15} & A_{14} & A_{13} & A_{12} & A_{11} & A_{10} & A_9 & A_8 & A_7 & A_6 & A_5 & A_4 & A_3 & A_2 & A_1 & A_0 & \text{Endereço}\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \text{FFFFH} \\ \hline \end{array}$

Assim, este equipamento é capaz de endereçar da posição: 0000H até FFFFH.

Os primeiros 16Kbytes:

$\underline{\begin{array}{cccccccccccccccccl}\text{Bloco 16K}& A_{15}& A_{14}& A_{13}& A_{12}& A_{11}& A_{10}& A_9& A_8& A_7& A_6& A_5& A_4& A_3& A_2& A_1& A_0& \text{Endereço}\\ & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \text{0000H}\\ 0& 0& 0& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& \\ & 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& \text{3FFFH}\\ & 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \text{4000H}\\ 1& 0& 1& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& \\ & 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& \text{7FFFH}\\ & 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \text{8000H}\\ 2& 1& 0& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& \\ & 1& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& \text{BFFFH}\\ & 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \text{C000H}\\ 3& 1& 1& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& :& \\ & 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& \text{FFFFH}\end{array}}$$\begin{array}{c|c:c:c:c|c:c:c:c|c:c:c:c|c:c:c:c|l} \text{Bloco 16K} & A_{15} & A_{14} & A_{13} & A_{12} & A_{11} & A_{10} & A_9 & A_8 & A_7 & A_6 & A_5 & A_4 & A_3 & A_2 & A_1 & A_0 & \text{Endereço}\\ \hline & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \text{0000H} \\ 0 & 0 & 0 & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & \\ & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \text{3FFFH} \\ \hline %%%% & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \text{4000H} \\ 1 & 0 & 1 & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & \\ & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \text{7FFFH} \\ \hline %%%% & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \text{8000H} \\ 2 & 1 & 0 & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & \\ & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \text{BFFFH} \\ \hline %%%% & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \text{C000H} \\ 3 & 1 & 1 & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & : & \\ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \text{FFFFH} \\ \hline \end{array}$