Aula Controle Automático III

Data: 07/10/2020

Estudo de Caso

Preparando Matlab:

Chaveando para diretório de trabalho e ativando "Diary":

>> pwd
ans =
    '/Volumes/Data/Users/fernandopassold/Documents/UPF/Controle_2/6_Projetos_via_RL/2020_2'
>> diary aula_07_10_2020.md
>> % # Aula do dia 07/10/2020

Ingressando Planta

A planta usada para estudo de caso é:

\[ G(s)=\dfrac{1}{(s+10)(s+2)(s+1)} \]

Ingressando plata no Matlab:

>> G=tf( 1, poly( [ -10 -2 -1] ) );
>> zpk(G)

ans =
 
          1
  ------------------
  (s+10) (s+2) (s+1)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

>> T=0.1; % periodo de amostragm adotado
>> 
>> % "Digitalando" a planta, isto é, calculando $BoG(z)$:
>> 
>> BoG = c2d ( G, T );
>> zpk(BoG)

ans =
 
  0.00012224 (z+2.747) (z+0.1903)
  --------------------------------
  (z-0.9048) (z-0.8187) (z-0.3679)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

>>

Projeto de Controlador Proporcional

Requisito de controle: \(\%OS \le 5\%\):

>> OS=5; % percentual tolerado de overshoot
>> 
>> zeta = (-log(OS/100))/(sqrt(pi^2 + (log(OS/100)^2)))
zeta =
    0.6901
>> 
>> % Exibir o Root Locus
>> rlocus(BoG)
>> hold on
>> zgrid(zeta, 0)
>> [K, polos_MF] = rlocfind( BoG )
Select a point in the graphics window
selected_point =
   0.8676 + 0.1214i
K =
   18.1635
polos_MF =
   0.8680 + 0.1214i
   0.8680 - 0.1214i
   0.3533 + 0.0000i
>>

Gráfico de Root Locus para controlador Proporcional:

RL_prop.png

Fechando a malha...

>> ftmf = feedback( K*BoG, 1);
>> figure; step(ftmf)
>> grid

Gráfico da resposta ao degrau unitário:

step_prop.png

Computando \(y[\infty]\) e errro:

>> dcgain(ftmf) % deduzindo y[\infty]
ans =
    0.4759
>> erro= (1 - dcgain(ftmf))/1*100
erro =
   52.4061
>>

Pode-se reduzir o erro aumentando ganho, mas aumenta overshoot...

>> K2=100; % novo valor do ganho do controlador proporcional
>> 
>> ftmf2 = feedback( K2*BoG, 1);
>> pole(ftmf2)
ans =
   0.8860 + 0.2854i
   0.8860 - 0.2854i
   0.3071 + 0.0000i
>> 
>> figure; step(ftmf2)

Resposta ao degrau com \(K=100\):

step_prop_K2.png

Calculando o novo valor de erro:

>> erro2= (1 - dcgain(ftmf2))/1*100
erro2 =
   16.6667

Projeto de Integrador Puro (Controlador "I")

Lembrando eq. do Integrador Retangular (vista em "Teoria do Erro"): \[ C(z)=\dfrac{K_i \cdot T}{(z-1)} \]

Ingressando controlador no Matlab e determinando \(FTMA(s)\):

>> I = tf( 1, [1 -1], T);
>> zpk(I)

ans =
 
    1
  -----
  (z-1)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

>> ftma_I = I*BoG;
>> zpk(ftma_I)

ans =
 
     0.00012224 (z+2.747) (z+0.1903)
  --------------------------------------
  (z-1) (z-0.9048) (z-0.8187) (z-0.3679)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

>> % Deduzindo Root Locus
>> 
>> figure; rlocus(ftma_I)
>> axis equal

Gráfico do RL sem zoom:

RL_cont_I_geral.png

Realizando zoom para sintonia do controlador Integrador Puro:

>> hold on;
>> zgrid(zeta, 0)
>> [Ki, polos_MF] = rlocfind (ftma_I)
Select a point in the graphics window
selected_point =
   0.9644 + 0.0354i
Ki =
    0.5951
polos_MF =
   0.9649 + 0.0353i
   0.9649 - 0.0353i
   0.7930 + 0.0000i
   0.3687 + 0.0000i
>>

Gráfico final do RL (com zoom):

RL_cont_I_zoom.png

Fechando a malha:

>> ftmf_I = feedback( Ki*ftma_I, 1);
>> figure; step(ftmf_I)
>> 
>> % Valor final de $y[kT]$:
>> 
>> dcgain(ftmf_I)
ans =
    1.0000
>>

Gráfico da resposta ao degrau unitário:

step_cont_I.png

Comparando os 2 controladores

>> figure; step( ftmf, ftmf_I)
>>

Gráfico:

step_Kp_I.png

Encerrando trabalhos com Matlab e preservando dados para próximas aulas e próximos projetos:

>> save planta
>> diary off
>> quit

Obs.: figuras incluídas usando:

<img src="step_Kp_I.png" alt="step_Kp_I.png" style="zoom:50%;" />

Fernando Passold, em 07.10.2020