Cuidados em cálculo de ângulos associados com Contribuição Angular no RL:

Reparem como são calculados os ângulos:

Note como é definida a regra que confirma que certo ponto (polo de malha fechada na posição desejada) pertence a uma curva do RL:

Isto significa que a contribuição angular resultante do somatório dos ângulos dos zeros menos o somatório dos ângulos dos polos deve gerar um número ímpar associado com os 180${}^o$, ou seja, o resultado das contribuições angulares deve resultar no ângulo de:

ou

Ou, na forma de um gráfico “rudimentar”, ver figura a seguir:

Note que o termo “$\pm$" gera variações no momento de calcular um ângulo.

Por exemplo, no caso do projeto do PD para a planta de 3a-ordem que não possui zeros, o único ângulo referente a um zero é do próprio zero do PD que está sendo buscado. A equação (1) fica então como:

isolando o termo ${\theta }_{p_z}$ , teremos:

e na continuação:

Note que para encontrar o valor do ângulo do zero do PD você pode optar pela eq. (2a) ou (2b). O resultado no gráfico deve ser o mesmo, independente da equação usada.

Mas... você ainda deve tomar algum cuidado quando finaliza o cálculo para determinação da posição do zero do PD. A eq (2a) ou (2b) vai lhe permitir identificar o ângulo que o zero do PD deveria ter em relação aos pólos malha fechada.

Para calcular a posição deste zero você pode fazer:

Onde: $\omega$ é a parte imaginária do pólo de MF desejado; ${\theta }_{z_{PD}}$ é o resultado obtido através da aplicação da eq. (2a) ou (2b); $\sigma$ é a parte real do pólo de MF desejado; e ${\sigma }_{PD}$ corresponde então à localização final do zero do PD.

Recomenda-se atenção com os sinais adotados para os termos explicados anteriormente e seu impacto no resultado final.

Por exemplo:

>> sum_th_p                  % exibir somatório ângulos dos polos
sum_th_p =
    4.0552
>> sum_th_p*180/pi           % valor em graus
ans =
    232.3460
>> th_c = sum_th_p - pi      % aplicando eq. (2b)
th_c =
    0.9136
>> th_c*180/pi               % angulo do zero do PD (em graus)
    52.3454
>> sigma_pd = sigma - (omega/tna(pi - th_c))     % eq. (3)
sigma_pd =    3.7128
>> num_pd = [1 sigma_pd];    % montando polinomio numerador do PD

Note que a variável sum_th_p ser refere ao somatório dos ângulos formados pelos pólos na FTMA(s) deste sistema (4,0552 rad = 232,346${}^o$).

A linha th_c = sum_th_p - pi está aplicando (corretamente) a equação (2b) e foi encontrado o valor: th_c = 0,9136 rad = 52,3454${}^o$. Até este ponto não existe nenhum erro.

Não tenho acesso à toda sequencia de comandos que gerou os valores de sigma e omega usados originalmente, mas a determinação de onde deveriam estar os pólos de MF deste sistema para e (segundos), leva aos pólos de MF na posição:

$s=-1.48148\pm j2.89182$

Ou

sigma = -1.4815

omega = 2.8918

Então será considerado sum_th_c = $232,35^o$ ( = 4.0552 radianos ) o que leva à:

Comparando-se os resultados obtidos, com excessão do sinal do termo sigma_pd, o valor alcançando resulta no mesmo.

Importante notar que o cálculo da contribuição angular faça sentido:

E que o RL no momento de sintonizar o controlador, passe realmente sobre os pólos de MF desejados:

Prof. Fernando Passold, em 01/07/2020.