aula_14_05

Projeto de PI usando Contribuição Angular

Aula de 14/05/2021

Continuando seção de trabalho anterior:


xxxxxxxxxx
>> pwd              % lembrando pasta de trabalho...
ans =
~/Documents/MATLAB/controle2_info
>> what             % arquivos compatíveis com Matlab nesta pasta
MAT-files in the current folder ~/Documents/MATLAB/controle2_info
planta  
>> format compact   % compactar informações na tela
>> load planta      % carregando info anteriores, planta, etc

Obs.: arquivo planta.mat disponível aqui.

Na aula anterior, foi definido um local para o zero do PI em função do estudo realizado difentes RL's (gráficos de Root Locus ou gráficos de lugares geométricos das raízes) conforme variava a posição do zero do PI. Foram realizados apenas esboços. Mas obter estes gráficos usando Matlab?

Lembrando a eq. da planta:


xxxxxxxxxx
>> zpk(G)
          1
------------------
  (s+10) (s+2) (s+1)
Continuous-time zero/pole/gain model.

Na aula passada 3 opções foram levantadas:

$+$ $s=-1$ $\le z_{PI} \le$ $s=0$ );
$-2 \le z_{PI} \le -1$ ;
$j \omega$ $-10 \le z_{PI} \le -2$ .

Os gráficos reais dos RL's para estes 3 casos pode se facilmente obtido no Matlab fazendo-se:

Obs.: Um clique com o botão direito do mouse sobre as figuras na tabela pode fazer surgir a opção de verificar cada um dos RL's, em maiores detalhes, numa nova aba do navegador (cada figura isoladamente)! Note que propostitalmente os 3 RL's abrangem a mesma região no plano-s (garantido através da instrução axis(), idêntica para os 3 RL's ).

$j \omega$ $t_s$ .

Mas a questão nesta aula é: -- E se não quiseremos realizar esta análise? -- Existe algum outro método mais determinístico para determinar o local do zero do PI?

$FTMA(s)$ para o qual está sendo traçado o RL deve respeitar a seguinte regra:

\sum_{zeros} \theta_{zeros} - \sum_{polos} \theta_{polos} = \pm \underbrace{(2k+1)}_{\text{Múltiplos ímpares}} \cdot 180^o

Então se soubermos onde deveriam estar os pólos de MF para garantir a resposta sub-amortecida da forma esperada, podemos aplicar esta regra para determinar, neste nosso caso, o ângulo do zero do PI e consequentemente sua posição no plano-s.

Maiores detalhes (com gráficos) sobre o que se pretende realizar aparecem no seção “Projeto de PI usando contribuição angular” de Projeto de PI (por contribuição angular) + Lag (recomenda-se sua leitura).

Anteriormente já havia sido definido o seguinte requisito de controle:

$\%OS \le 10\%$

$\%OS$ possamos calcular a posição que os pólos complexos de MF deveriam assumir no plano-s para garantir o formato de resposta desejado.

$t_s$ do Controlador Proporcional temos:


xxxxxxxxxx
>> figure; step(ftmf)

step_controlador_prop_K28

$t_s<3,0$ Exemplo (Aula de 20/05/2020) $t_s \le 4,0$ segundos).

$\%OS$ $\zeta$ já calculando anteriormente) e mais este parâmetro temporal podemos agora determinar onde os pólos de MF complexos deveriam ficar localizados no plano-s:


xxxxxxxxxx
>> t_s_d=3;   % valor desejado para tempo de assentamento do PI
>> OS         % lembrando do %OS adotado anteriomente
OS =
    10
>> zeta       % correspondente fator de amortecimento
zeta =
    0.5912
>> wn = 4 / (zeta*t_s_d)    % calculando freq. natural de oscilação
wn =
    2.2555
>> wd = wn*sqrt(1-zeta^2)   % calculando parte imaginária dos pólos de MF
wd =
    1.8192
>> sigma = -wn*zeta         % calculando parte real dos pólos de MF
sigma =
   -1.3333
>> polos_mf=[sigma+i*wd sigma-i*wd]   % compondo um vetor com os pólos de MF
polos_mf =
  -1.3333 + 1.8192i  -1.3333 - 1.8192i

Criando então uma FTMA(s) temporária do PI, necessário para compor um gráfico no plano-s mostrando como se dá o cálculo da contribuição angular neste caso. Note que no momento ainda sem o zero, ou seja, resulta um controlador de pura ação integral:


xxxxxxxxxx
>> C_PI2_aux=tf(1, [1 0])
C_PI2_aux =
  1
  -
  s
Continuous-time transfer function.
>> ftma_PI2_aux=C_PI2_aux*G;
>> zpk(ftma_PI2_aux)
           1
--------------------
  s (s+10) (s+2) (s+1)
Continuous-time zero/pole/gain model.
>> figure; pzmap(ftma_PI2_aux)    % começando a plotar o gráfico do plano-s
>> hold on;
>> plot(polos_mf, 'r+')           % acrescentando os pólos desejados de MF
>> axis([-10 2 -2 2])             % ajeitando a região plotada do plano-s

O plano-s mostrando as contribuições angulares resulta então em:

Obs.: a figura anterior já mostra os ângulos, calculados no próximo passo:

Seguindo com o cálculo dos ângulos dos pólos, aplicando a regra do RL e calculando então o ângulo do zero e sua posição no plano-s:


xxxxxxxxxx
>> theta1=atan2(wd,sigma)       % Note, o Matlab trabalha em radianos e não em graus
theta1 =
    2.2033
>> theta1_deg=theta1*180/pi
theta1_deg =
  126.2390
>> theta2=atan2(wd,sigma-(-1))
theta2 =
    1.7520
>> theta2_deg=theta2*180/pi
theta2_deg =
  100.3833
>> theta3=atan2(wd,sigma-(-2))
theta3 =
    1.2195
>> theta3_deg=theta3*180/pi
theta3_deg =
   69.8737
>> theta4=atan2(wd,sigma-(-10))
theta4 =
    0.2069
>> theta4_deg=theta4*180/pi
theta4_deg =
   11.8545
>> axis equal     % forçando Matlab a usar mesma escala (proporção) nos eixos X e Y
>> sum_theta=theta1+theta2+theta3+theta4
sum_theta =
    5.3817
>> sum_theta_deg=sum_theta*180/pi
sum_theta_deg =
  308.3506
>> theta_zera=360-sum_theta_deg   % ângulo do zero (sentido horário = 360^o - X^o)
theta_zera =
   51.6494
>> theta_zero=2*pi-sum_theta
theta_zero =
    0.9015
>> delta_x=wd/tan(theta_zero)
delta_x =
    1.4393
>> zero_PI2=sigma+delta_x
zero_PI2 =
    0.1060

A contribuição angular final fica:

contrib_angular_PI2_b

Note: foi calculado um zero instável (no semi-plano direito positivo do plano-s)... Isto significa que esta planta em MF, ficará instável a médio ou longo prazo.

Talvez a dúvida agora seja: -- Por que foi gerado um zero instável? Resposta: $\%OS$ $t_s$ $t_s=3,0$ $t_s=3,5$ $t_s=4,0$ segundos como realizado neste exemplo, não encontraríamos problema e teríamos encontrado um zero estável para o PI.

Conclusão $t_s$ (talvez 3,5 segundos).

Mas... continuando o desenvolvimento deste projeto, apenas para comprovar o comportamento instável deste sistema, como consequência do zro instável, teremos:


xxxxxxxxxx
>> C_PI2=tf([1 -zero_PI2],[1 0])
C_PI2 =
  s - 0.106
  ---------
      s
Continuous-time transfer function.

Seguimos o projeto como se estivesse tudo bem...


xxxxxxxxxx
>> ftma_PI2=C_PI2*G;
>> zpk(ftma_PI2)
ans =
       (s-0.106)
--------------------
  s (s+10) (s+2) (s+1)
Continuous-time zero/pole/gain model.
>> figure; rlocus(ftma_PI2);          % desenhando o RL para encontrar o ganho deste PI
>> hold on; sgrid(zeta,0);            % sobrepondo linha guia do zeta constante
>> plot(polos_mf, 'r+')               % sobrepondo os pólos de MF no RL já traçado
>> [K_PI2,polosMF]=rlocfind(ftma_PI2) % encontrando o ganho
Select a point in the graphics window
selected_point =
  -1.3308 + 1.8157i
K_PI2 =
   30.7540
polosMF =
 -10.3940 + 0.0000i
  -1.3339 + 1.8162i
  -1.3339 - 1.8162i
   0.0617 + 0.0000i

Segue gráfico do RL mostrando que cálculos da contribuição angular estão corretos:

rlocus_PI2

Fechando a malha...


xxxxxxxxxx
>> ftmf_PI2=feedback(K_PI2*ftma_PI2, 1);  % calculo da FTMF(s)
>> figure; step(ftmf_PI2)                 % gráfico da resposta ao degrau
>> % Note que o sistema fica instável
>> % reduzindo escala da resposta para verificar parte inicial da resposta
>> axis([0 30 -1 1.2])    % mostrando os primeiros 30 segundos

Gráfico da resposta ao degrau:

$y(\infty)=-\infty$ , isto é, o sistema fica instável (ocasionado pelo zero instável do controlador).

Encerrando seção de trabalho no Matlab:


xxxxxxxxxx
>> save planta
>> diary off
>> quit()

$t_s \le 4,0$ segundos, recomenda-se verificar a página: Projeto de PI (por contribuição angular) + Lag ou Exemplo (Aula de 20/05/2020).

That's all folks...

🎶 Fernando Passold, em 14.05.2021

$-1 \le z_{PI} \le 0$	$-2 \le z_{PI} \le -1$ ;

Código: >> aux_ftma_PI1 = tf( poly(-0.5), poly( [0 -1 -2 -10] ) ); >> zpk( aux_ftma_PI1 ) >> figure(1); rlocus( aux_ftma_PI1 ) >> hold on; sgrid( zeta, 0 ) >> axis( [-12 2 -4 4] );	Código: >> aux_ftma_PI2 = tf( poly(-1.5), poly( [0 -1 -2 -10] ) ); >> zpk( aux_ftma_PI2 ) >> figure(2); rlocus( aux_ftma_PI2 ) >> hold on; sgrid( zeta, 0 ) >> axis( [-12 2 -4 4] );
$-10 \le z_{PI} \le -2$

Código: >> aux_ftma_PI3 = tf( poly(-6), poly( [0 -1 -2 -10] ) ); >> zpk( aux_ftma_PI3 ) >> figure(3); rlocus( aux_ftma_PI3 ) >> hold on; sgrid( zeta, 0 ) >> axis( [-12 2 -4 4] );