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Sintonia de PIDs usando Ziegler Nichols

Seja um controlador PID no formato paralelo como o mostrado no diagrama em blocos à seguir:

PID_en.svg.png

O método de ajuste de Ziegler-Nichols é um método heurístico de ajuste de um controlador PID. Foi desenvolvido por John G. Ziegler e Nathaniel B. Nichols em 1942 ¹.

$K_i$ $K_d$ $K_{p}$ $K_{u}$ $j \omega$ $K_{u}$ $K_{u}$ $T_u$ .

$K_u$ $T_u$ $K_p$ $K_i$ $K_d$ , dependendo do tipo de controlador usado e comportamento desejado:

Controlador	$K_c$	$T_i$	$T_d$	$K_i$	$K_d$
P	$0,5K_u$	-	-	-	-
PI	$0,45K_u$	$T_u/1,2$	-	$0,54K_u/T_u$	-
PD	$0,8K_u$	-	$T_u/8$	-	$K_u T_u/10$
PID	$0,6K_u$	$T_u/2$	$Tu/8$	$1,2K_u/T_u$	$(3/40)K_u T_u$
Algum sobressinal	$K_u/3$	$T_u/2$	$T_u/3$	$0,667K_u/T_u$	$K_u T_u/9$
Sem sobressinal	$K_u/5$	$T_u/2$	$T_u/3$	$(2/5)K_u T_u$	$K_u T_u/15$

$K_i=\dfrac{K_p}{T_i}$
$K_d=\dfrac{K_p}{T_d}$ ;

Os 3 parâmetros obedecem à equação (no formato ISA) do PID:

u(t)=K_c \left( e(t) + \dfrac{1}{T_i} \int_0^t e(\tau) \partial \tau + T_d \dfrac{\partial e(t)}{\partial t}\right)

ou (equação no formato paralelo):

u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) + K_d \dfrac{\partial e(t)}{\partial t}

que no plano-s origina:

U(s)=K_c \left( 1 + \dfrac{1}{T_i s} + T_d s \right)E(s)

ou:

U(s)=K_c \left( \dfrac{T_d T_i s^2 + T_i s + 1}{T_i s} \right)E(s)

Como alternativa à tabela anterior, outro conjunto de valores de ajuste foi determinado por Tyreus e Luyblen para PI e PID, geralmente chamados de regras de ajuste do TLC. Esses valores tendem a reduzir os efeitos oscilatórios e melhorar a robustez.

Controlador	$K_c$	$T_i$	$T_d$
PI	$K_u/3,2$	$2,2 T_u$	-
PID	$K_u/2,2$	$2,2 T_u$	$T_u/6,3$

Método de auto-ajuste baseado no método do Relé

Existe outra maneira de sintonizar o PID usando a estrutura básica de um controlador ON/OFF, chamado de "método do relé”.

Publicado em 1984 por Karl Johan Åström e Tore Hägglund², o método de relé opera temporariamente o processo usando o controle bang-bang (ou on/off) e mede as oscilações resultantes. A saída é alternada (como se por um relé, daí o nome) entre dois valores da variável de controle. Os valores devem ser escolhidos para que o processo cruze o ponto de ajuste, mas não necessita ser 0% e 100%; escolhendo valores adequados, podem ser evitadas oscilações perigosas num sistema real.

O procedimento neste caso é o seguinte:

Permita o sistema se estabilizar;
Modifique a referência (ou setpoint) para o valor desejado;
$u(t)=\left\{ \begin{array}{ll} u_0 + d, & \mbox{Se: } e \ge 0 \\ u_0 - d, & \mbox{Se: } e < 0 \\ \end{array} \right.$
Deixe o processo se estabilizar assumindo uma oscilação periódica sustentada (período de oscilação constante).

Note que o processo deve passar a oscilar da forma mostrada na próxima figura:

$K_u$ pode ser inferido à partir da seguinte equação:

K_u=\dfrac{4}{\pi}\dfrac{d}{a}

$h$
$a$ corresponde ao valor de pico das oscilações presentes na resposta do sistema.

Efeitos dos parâmetros de um PID

De maneira geral o ajuste fino de um controlador PID leva em consideração os seguintes efeitos causandos quando se modificam seus parâmetros:

Parâmetro	$t_r$	$\%OS$	$t_s$	$e(\infty)$	Estabilidade
$K_p \uparrow$	$\downarrow$	$\uparrow$	Pequena Mudança	$\downarrow$	Diminui
$K_i \uparrow$	$\downarrow$	$\uparrow$	$\uparrow$	Elimina	Diminui
$K_d \uparrow$	Pequena Alteração	$\downarrow$	$\downarrow$	Sem Efeito	$K_d$ é pequeno

A próxima figura passa uma idéia dos efeitos obtidos quando se altera os parâmetros de um PID:

Exemplo de sintonia usando ZN

Seja o seguinte sistema:

G(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+10)}

$K_u$ , ganho máximo que poderia ser aplicado neste processo (quando uma malha é fechada usando um simples controlador proporcional).


>> G=tf(1,poly([-1 -2 -10]));
>> zpk(G)
ans =
 
          1
  ------------------
  (s+10) (s+2) (s+1)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.
>> %  caçando o ganho máximo usando RL
>> rlocus(G)
>> axis([-12 1 -8 8])

$j \omega$ , como mostrado na figura abaixo:

$341 < K_u < 420$ .

$K_u$ obtemos as seguintes respostas:

As figuras anterioes foram obtidas com os seguintes comandos no Matlab:


>> Ku=400;
>> ftmf=feedback(Ku*G, 1);
>> figure; step(ftmf)
>> Ku=380;
>> ftmf=feedback(Ku*G, 1);
>> figure; step(ftmf)
>> Ku=396;
>> ftmf=feedback(Ku*G, 1);
>> figure; step(ftmf)

Perceba-se que trata-se de um método de tentativa e erro que pode demandar certo tempo.

Obs.: $K_u$ pode ser obtido usando-se o método de Routh-Hurwitz.

$K_u=396$ o sistema assumiu uma oscilação "consistente" (senóide de amplitude constante).

$T_u$ . No Matlab:


>> % Realizando um "zoom" sobre uma parte interessante
>> axis([0 12 0 2])

O gráfico permite selecionar 2 pontos distantes e inferir o período de oscilação:

$T_u$ :


>> % notamos que entre os pontos selecionados estão 9 ciclos completos
>> Tu=(10.6-0.631)/9
Tu =
    1.1077

$K_u$ $T_u$ e usando a tabela de Ziegler-Nichols podemos descobrir valores iniciais para os parâmetros do PID:

Controlador	$K_c$	$T_i$	$T_d$	$K_i$	$K_d$
PID	$0,6K_u$	$T_u/2$	$Tu/8$	$1,2K_u/T_u$	$(3/40)K_u T_u$

Usando o Matlab novamente:


>> Kc=0.6*Ku
Kc =
  237.6000
>> Ti=Tu/2
Ti =
    0.5538
>> Td=Tu/8
Td =
    0.1385

E assim nosso PID inicialmente fica:

\begin{array}{rcl} U(s) &=& K_c \left( 1 + \dfrac{1}{T_i s} + T_d s \right)E(s)\\ &=& 237,6 \left( 1 + \dfrac{1}{0,5538 s} + 0,1385\right) \end{array}

Simulando no Simulink (arquivo: sintonia_PID_exemplo.slx) resulta em:

Este diagrama de blocos foi exportado para PNG fazendo:


>> print -r150 -dpng -ssintonia_PID_exemplo sintonia_PID_exemplo.png

O resultado da simulação para 7 segundos pode ser visto na próxima figura:

$\%OS \cong 63,7\%$ $t_s \cong 3,479$ (segundos).

Se faz um necessário um ajuste fino deste PID:

$K_c=132$
$T_i=1$
$T_d=0,3692$ .

Foi obtido o seguinte resultado:

Prof. Fernando Passold (Julho/2020)

1 Ziegler, J.G & Nichols, N. B. (1942). "Optimum settings for automatic controllers" (PDF). Transactions of the ASME. 64: 759–768. ↩

2 Åström, K.J.; Hägglund, T. (July 1984). "Automatic Tuning of Simple Regulators". IFAC Proceedings Volumes. 17 (2): 1867–1872. doi:10.1016/S1474-6670(17)61248-5. ↩

$K_u=400$	$K=380$

$K_u=396$